Resolver {l}{2p+3m=8}{p+2m=6}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 p + 3 m = 8 } \\ { p + 2 m = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: p, m

$$p=-2$$

$$m=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi p. Horretarako, isolatu p berdin ikurraren ezkerraldean.

$$2p+3m=8$$

Egin ken 3m ekuazioaren bi aldeetan.

$$2p=-3m+8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$p=\frac{1}{2}\left(-3m+8\right)$$

Egin \frac{1}{2} bider -3m+8.

$$p=-\frac{3}{2}m+4$$

Ordeztu -\frac{3m}{2}+4 balioa p balioarekin beste ekuazioan (p+2m=6).

$$-\frac{3}{2}m+4+2m=6$$

Gehitu -\frac{3m}{2} eta 2m.

$$\frac{1}{2}m+4=6$$

Egin ken 4 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{1}{2}m=2$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$m=4$$

Ordeztu 4 m balioarekin p=-\frac{3}{2}m+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, p ebatz dezakezu zuzenean.

$$p=-\frac{3}{2}\times 4+4$$

Egin -\frac{3}{2} bider 4.

$$p=-6+4$$

Gehitu 4 eta -6.

$$p=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$p=-2,m=4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-3}&-\frac{3}{2\times 2-3}\\-\frac{1}{2\times 2-3}&\frac{2}{2\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 8-3\times 6\\-8+2\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}p\\m\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\4\end{matrix}\right)$$

Atera p eta m matrize-elementuak.

$$p=-2,m=4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$2p+3m=8,p+2m=6$$

2p eta p berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2p+3m=8,2p+2\times 2m=2\times 6$$

Sinplifikatu.

$$2p+3m=8,2p+4m=12$$

Egin 2p+4m=12 ken 2p+3m=8 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2p-2p+3m-4m=8-12$$

Gehitu 2p eta -2p. Sinplifikatu egiten dira 2p eta -2p. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$3m-4m=8-12$$

Gehitu 3m eta -4m.

$$-m=8-12$$

Gehitu 8 eta -12.

$$-m=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$m=4$$

Ordeztu 4 m balioarekin p+2m=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, p ebatz dezakezu zuzenean.

$$p+2\times 4=6$$

Egin 2 bider 4.

$$p+8=6$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$p=-2$$

Ebatzi da sistema.

$$p=-2,m=4$$