Resolver {l}{2(x+y)-(x-y)=3}{(x+y)-2(x-y)=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) - ( x - y ) = 3 } \\ { ( x + y ) - 2 ( x - y ) = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x+2y-x+y=3$$

x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x+2y+y=3$$

3y lortzeko, konbinatu 2y eta y.

$$x+3y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x-y biderkatzeko.

$$x+y-2x+2y=1$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x+y+2y=1$$

3y lortzeko, konbinatu y eta 2y.

$$-x+3y=1$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+3y=3$$

Egin ken 3y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-3y+3$$

Ordeztu -3y+3 balioa x balioarekin beste ekuazioan (-x+3y=1).

$$-\left(-3y+3\right)+3y=1$$

Egin -1 bider -3y+3.

$$3y-3+3y=1$$

Gehitu 3y eta 3y.

$$6y-3=1$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$6y=4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$y=\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{2}{3} y balioarekin x=-3y+3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-3\times \frac{2}{3}+3$$

Egin -3 bider \frac{2}{3}.

$$x=-2+3$$

Gehitu 3 eta -2.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x+2y-x+y=3$$

x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x+2y+y=3$$

3y lortzeko, konbinatu 2y eta y.

$$x+3y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x-y biderkatzeko.

$$x+y-2x+2y=1$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x+y+2y=1$$

3y lortzeko, konbinatu y eta 2y.

$$-x+3y=1$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-3\left(-1\right)}&-\frac{3}{3-3\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3-3\left(-1\right)}&\frac{1}{3-3\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 3-\frac{1}{2}\\\frac{1}{6}\times 3+\frac{1}{6}\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y-\left(x-y\right)=3$$

x-y funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$2x+2y-x+y=3$$

x lortzeko, konbinatu 2x eta -x.

$$x+2y+y=3$$

3y lortzeko, konbinatu 2y eta y.

$$x+3y=3$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x-y biderkatzeko.

$$x+y-2x+2y=1$$

-x lortzeko, konbinatu x eta -2x.

$$-x+y+2y=1$$

3y lortzeko, konbinatu y eta 2y.

$$-x+3y=1$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+3y=3,-x+3y=1$$

Egin -x+3y=1 ken x+3y=3 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$x+x+3y-3y=3-1$$

Gehitu 3y eta -3y. Sinplifikatu egiten dira 3y eta -3y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$x+x=3-1$$

Gehitu x eta x.

$$2x=3-1$$

Gehitu 3 eta -1.

$$2x=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=1$$

Ordeztu 1 x balioarekin -x+3y=1 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$-1+3y=1$$

Gehitu 1 ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{2}{3}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=\frac{2}{3}$$