Resolver {l}{2(x+y)+4x=12}{3x-2(x+2y)=-11}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 2 ( x + y ) + 4 x = 12 } \\ { 3 x - 2 ( x + 2 y ) = - 11 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=1$$

$$y=3$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y+4x=12$$

6x lortzeko, konbinatu 2x eta 4x.

$$6x+2y=12$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x+2y biderkatzeko.

$$3x-2x-4y=-11$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x-4y=-11$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$6x+2y=12,x-4y=-11$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$6x+2y=12$$

Egin ken 2y ekuazioaren bi aldeetan.

$$6x=-2y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+12\right)$$

Egin \frac{1}{6} bider -2y+12.

$$x=-\frac{1}{3}y+2$$

Ordeztu -\frac{y}{3}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-4y=-11).

$$-\frac{1}{3}y+2-4y=-11$$

Gehitu -\frac{y}{3} eta -4y.

$$-\frac{13}{3}y+2=-11$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{13}{3}y=-13$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{13}{3} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x=-\frac{1}{3}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{1}{3}\times 3+2$$

Egin -\frac{1}{3} bider 3.

$$x=-1+2$$

Gehitu 2 eta -1.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y+4x=12$$

6x lortzeko, konbinatu 2x eta 4x.

$$6x+2y=12$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x+2y biderkatzeko.

$$3x-2x-4y=-11$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x-4y=-11$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$6x+2y=12,x-4y=-11$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}6&2\\1&-4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-11\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\1&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-2}&-\frac{2}{6\left(-4\right)-2}\\-\frac{1}{6\left(-4\right)-2}&\frac{6}{6\left(-4\right)-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-11\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{1}{26}&-\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-11\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-11\right)\\\frac{1}{26}\times 12-\frac{3}{13}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=1,y=3$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta x+y biderkatzeko.

$$2x+2y+4x=12$$

6x lortzeko, konbinatu 2x eta 4x.

$$6x+2y=12$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea -2 eta x+2y biderkatzeko.

$$3x-2x-4y=-11$$

x lortzeko, konbinatu 3x eta -2x.

$$x-4y=-11$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$6x+2y=12,x-4y=-11$$

6x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 6 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$6x+2y=12,6x+6\left(-4\right)y=6\left(-11\right)$$

Sinplifikatu.

$$6x+2y=12,6x-24y=-66$$

Egin 6x-24y=-66 ken 6x+2y=12 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$6x-6x+2y+24y=12+66$$

Gehitu 6x eta -6x. Sinplifikatu egiten dira 6x eta -6x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$2y+24y=12+66$$

Gehitu 2y eta 24y.

$$26y=12+66$$

Gehitu 12 eta 66.

$$26y=78$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 26 balioarekin.

$$y=3$$

Ordeztu 3 y balioarekin x-4y=-11 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-4\times 3=-11$$

Egin -4 bider 3.

$$x-12=-11$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1$$

Ebatzi da sistema.

$$x=1,y=3$$