Resolver {l}{0.5x+0.7y=35}{x+0.4y=40}

$$\left\{ \begin{array} { l } { 0.5 x + 0.7 y = 35 } \\ { x + 0.4 y = 40 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=28$$

$$y=30$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$0.5x+0.7y=35$$

Egin ken \frac{7y}{10} ekuazioaren bi aldeetan.

$$0.5x=-0.7y+35$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=2\left(-0.7y+35\right)$$

Egin 2 bider -\frac{7y}{10}+35.

$$x=-1.4y+70$$

Ordeztu -\frac{7y}{5}+70 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x+0.4y=40).

$$-1.4y+70+0.4y=40$$

Gehitu -\frac{7y}{5} eta \frac{2y}{5}.

$$-y+70=40$$

Egin ken 70 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-y=-30$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$y=30$$

Ordeztu 30 y balioarekin x=-1.4y+70 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-1.4\times 30+70$$

Egin -1.4 bider 30.

$$x=-42+70$$

Gehitu 70 eta -42.

$$x=28$$

Ebatzi da sistema.

$$x=28,y=30$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.5&0.7\\1&0.4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.4}{0.5\times 0.4-0.7}&-\frac{0.7}{0.5\times 0.4-0.7}\\-\frac{1}{0.5\times 0.4-0.7}&\frac{0.5}{0.5\times 0.4-0.7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8&1.4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}35\\40\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-0.8\times 35+1.4\times 40\\2\times 35-40\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}28\\30\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=28,y=30$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$0.5x+0.7y=35,x+0.4y=40$$

\frac{x}{2} eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 0.5 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.5\times 0.4y=0.5\times 40$$

Sinplifikatu.

$$0.5x+0.7y=35,0.5x+0.2y=20$$

Egin 0.5x+0.2y=20 ken 0.5x+0.7y=35 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$0.5x-0.5x+0.7y-0.2y=35-20$$

Gehitu \frac{x}{2} eta -\frac{x}{2}. Sinplifikatu egiten dira \frac{x}{2} eta -\frac{x}{2}. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$0.7y-0.2y=35-20$$

Gehitu \frac{7y}{10} eta -\frac{y}{5}.

$$0.5y=35-20$$

Gehitu 35 eta -20.

$$0.5y=15$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$y=30$$

Ordeztu 30 y balioarekin x+0.4y=40 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x+0.4\times 30=40$$

Egin 0.4 bider 30.

$$x+12=40$$

Egin ken 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=28$$

Ebatzi da sistema.

$$x=28,y=30$$