Resolver {l}{-7x-4y=62}{3x+y=-2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 7 x - 4 y = 62 } \\ { 3 x + y = - 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x = \frac{54}{5} = 10\frac{4}{5} = 10.8$$

$$y = -\frac{172}{5} = -34\frac{2}{5} = -34.4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-7x-4y=62$$

Gehitu 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-7x=4y+62$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{7}\left(4y+62\right)$$

Egin -\frac{1}{7} bider 4y+62.

$$x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}$$

Ordeztu \frac{-4y-62}{7} balioa x balioarekin beste ekuazioan (3x+y=-2).

$$3\left(-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7}\right)+y=-2$$

Egin 3 bider \frac{-4y-62}{7}.

$$-\frac{12}{7}y-\frac{186}{7}+y=-2$$

Gehitu -\frac{12y}{7} eta y.

$$-\frac{5}{7}y-\frac{186}{7}=-2$$

Gehitu \frac{186}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{172}{7}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{172}{5}$$

Ordeztu -\frac{172}{5} y balioarekin x=-\frac{4}{7}y-\frac{62}{7} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{4}{7}\left(-\frac{172}{5}\right)-\frac{62}{7}$$

Egin -\frac{4}{7} bider -\frac{172}{5}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{688}{35}-\frac{62}{7}$$

Gehitu -\frac{62}{7} eta \frac{688}{35} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{54}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{-7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{-7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{7}{-7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\\-\frac{3}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}62\\-2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 62+\frac{4}{5}\left(-2\right)\\-\frac{3}{5}\times 62-\frac{7}{5}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{54}{5}\\-\frac{172}{5}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-7x-4y=62,3x+y=-2$$

-7x eta 3x berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\left(-7\right)x+3\left(-4\right)y=3\times 62,-7\times 3x-7y=-7\left(-2\right)$$

Sinplifikatu.

$$-21x-12y=186,-21x-7y=14$$

Egin -21x-7y=14 ken -21x-12y=186 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-21x+21x-12y+7y=186-14$$

Gehitu -21x eta 21x. Sinplifikatu egiten dira -21x eta 21x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12y+7y=186-14$$

Gehitu -12y eta 7y.

$$-5y=186-14$$

Gehitu 186 eta -14.

$$-5y=172$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$y=-\frac{172}{5}$$

Ordeztu -\frac{172}{5} y balioarekin 3x+y=-2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$3x-\frac{172}{5}=-2$$

Gehitu \frac{172}{5} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=\frac{162}{5}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{54}{5}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=\frac{54}{5},y=-\frac{172}{5}$$