Resolver {l}{-2a-b+8=0}{-2b+a+1=0}

$$\left\{ \begin{array} { l } { - 2 a - b + 8 = 0 } \\ { - 2 b + a + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: a, b

$$a=3$$

$$b=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi a. Horretarako, isolatu a berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-2a-b+8=0$$

Egin ken 8 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2a-b=-8$$

Gehitu b ekuazioaren bi aldeetan.

$$-2a=b-8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$a=-\frac{1}{2}\left(b-8\right)$$

Egin -\frac{1}{2} bider b-8.

$$a=-\frac{1}{2}b+4$$

Ordeztu -\frac{b}{2}+4 balioa a balioarekin beste ekuazioan (a-2b+1=0).

$$-\frac{1}{2}b+4-2b+1=0$$

Gehitu -\frac{b}{2} eta -2b.

$$-\frac{5}{2}b+4+1=0$$

Gehitu 4 eta 1.

$$-\frac{5}{2}b+5=0$$

Egin ken 5 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{5}{2}b=-5$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{5}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$b=2$$

Ordeztu 2 b balioarekin a=-\frac{1}{2}b+4 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

Egin -\frac{1}{2} bider 2.

$$a=-1+4$$

Gehitu 4 eta -1.

$$a=3$$

Ebatzi da sistema.

$$a=3,b=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-8\\-1\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5}\left(-8\right)+\frac{1}{5}\left(-1\right)\\-\frac{1}{5}\left(-8\right)-\frac{2}{5}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

Atera a eta b matrize-elementuak.

$$a=3,b=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-2a-b+8=0,a-2b+1=0$$

-2a eta a berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -2 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-2a-b+8=0,-2a-2\left(-2\right)b-2=0$$

Sinplifikatu.

$$-2a-b+8=0,-2a+4b-2=0$$

Egin -2a+4b-2=0 ken -2a-b+8=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-2a+2a-b-4b+8+2=0$$

Gehitu -2a eta 2a. Sinplifikatu egiten dira -2a eta 2a. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-b-4b+8+2=0$$

Gehitu -b eta -4b.

$$-5b+8+2=0$$

Gehitu 8 eta 2.

$$-5b+10=0$$

Egin ken 10 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-5b=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -5 balioarekin.

$$b=2$$

Ordeztu 2 b balioarekin a-2b+1=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, a ebatz dezakezu zuzenean.

$$a-2\times 2+1=0$$

Egin -2 bider 2.

$$a-4+1=0$$

Gehitu -4 eta 1.

$$a-3=0$$

Gehitu 3 ekuazioaren bi aldeetan.

$$a=3$$

Ebatzi da sistema.

$$a=3,b=2$$