Resolver {l}{x-y/5-y/2=x-1}{x/3+y+2/2=1}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 5 } - \frac { y } { 2 } = x - 1 } \\ { \frac { x } { 3 } + \frac { y + 2 } { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (5,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-7y lortzeko, konbinatu -2y eta -5y.

$$2x-7y=10x-10$$

Kendu 10x bi aldeetatik.

$$2x-7y-10x=-10$$

-8x lortzeko, konbinatu 2x eta -10x.

$$-8x-7y=-10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+2 biderkatzeko.

$$2x+3y+6=6$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$2x+3y=6-6$$

0 lortzeko, 6 balioari kendu 6.

$$2x+3y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-8x-7y=-10$$

Gehitu 7y ekuazioaren bi aldeetan.

$$-8x=7y-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -8 balioarekin.

$$x=-\frac{1}{8}\left(7y-10\right)$$

Egin -\frac{1}{8} bider 7y-10.

$$x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}$$

Ordeztu -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4} balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x+3y=0).

$$2\left(-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4}\right)+3y=0$$

Egin 2 bider -\frac{7y}{8}+\frac{5}{4}.

$$-\frac{7}{4}y+\frac{5}{2}+3y=0$$

Gehitu -\frac{7y}{4} eta 3y.

$$\frac{5}{4}y+\frac{5}{2}=0$$

Egin ken \frac{5}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{5}{4}y=-\frac{5}{2}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{5}{4} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin x=-\frac{7}{8}y+\frac{5}{4} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-\frac{7}{8}\left(-2\right)+\frac{5}{4}$$

Egin -\frac{7}{8} bider -2.

$$x=\frac{7+5}{4}$$

Gehitu \frac{5}{4} eta \frac{7}{4} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (5,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-7y lortzeko, konbinatu -2y eta -5y.

$$2x-7y=10x-10$$

Kendu 10x bi aldeetatik.

$$2x-7y-10x=-10$$

-8x lortzeko, konbinatu 2x eta -10x.

$$-8x-7y=-10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+2 biderkatzeko.

$$2x+3y+6=6$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$2x+3y=6-6$$

0 lortzeko, 6 balioari kendu 6.

$$2x+3y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-8&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{8}{-8\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}&-\frac{7}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{10}\left(-10\right)\\\frac{1}{5}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=3,y=-2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin (5,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2\left(x-y\right)-5y=10x-10$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-y biderkatzeko.

$$2x-2y-5y=10x-10$$

-7y lortzeko, konbinatu -2y eta -5y.

$$2x-7y=10x-10$$

Kendu 10x bi aldeetatik.

$$2x-7y-10x=-10$$

-8x lortzeko, konbinatu 2x eta -10x.

$$-8x-7y=-10$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (3,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$2x+3\left(y+2\right)=6$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta y+2 biderkatzeko.

$$2x+3y+6=6$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$2x+3y=6-6$$

0 lortzeko, 6 balioari kendu 6.

$$2x+3y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-8x-7y=-10,2x+3y=0$$

-8x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu -8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2\left(-8\right)x+2\left(-7\right)y=2\left(-10\right),-8\times 2x-8\times 3y=0$$

Sinplifikatu.

$$-16x-14y=-20,-16x-24y=0$$

Egin -16x-24y=0 ken -16x-14y=-20 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-16x+16x-14y+24y=-20$$

Gehitu -16x eta 16x. Sinplifikatu egiten dira -16x eta 16x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-14y+24y=-20$$

Gehitu -14y eta 24y.

$$10y=-20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 10 balioarekin.

$$y=-2$$

Ordeztu -2 y balioarekin 2x+3y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x+3\left(-2\right)=0$$

Egin 3 bider -2.

$$2x-6=0$$

Gehitu 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=3,y=-2$$