Resolver {l}{x-y/2-y/3=1}{2x+y/2=y}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x - y } { 2 } - \frac { y } { 3 } = 1 } \\ { \frac { 2 x + y } { 2 } = y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-\frac{6}{7}\approx -0.857142857$$

$$y = -\frac{12}{7} = -1\frac{5}{7} \approx -1.714285714$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-y biderkatzeko.

$$3x-3y-2y=6$$

-5y lortzeko, konbinatu -3y eta -2y.

$$3x-5y=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu 2x+y ekuazioko gai bakoitza 2 balioarekin, x+\frac{1}{2}y lortzeko.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}y eta -y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$3x-5y=6$$

Gehitu 5y ekuazioaren bi aldeetan.

$$3x=5y+6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+6\right)$$

Egin \frac{1}{3} bider 5y+6.

$$x=\frac{5}{3}y+2$$

Ordeztu \frac{5y}{3}+2 balioa x balioarekin beste ekuazioan (x-\frac{1}{2}y=0).

$$\frac{5}{3}y+2-\frac{1}{2}y=0$$

Gehitu \frac{5y}{3} eta -\frac{y}{2}.

$$\frac{7}{6}y+2=0$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{7}{6}y=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{7}{6} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{12}{7}$$

Ordeztu -\frac{12}{7} y balioarekin x=\frac{5}{3}y+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{12}{7}\right)+2$$

Egin \frac{5}{3} bider -\frac{12}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-\frac{20}{7}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{20}{7}.

$$x=-\frac{6}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-y biderkatzeko.

$$3x-3y-2y=6$$

-5y lortzeko, konbinatu -3y eta -2y.

$$3x-5y=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu 2x+y ekuazioko gai bakoitza 2 balioarekin, x+\frac{1}{2}y lortzeko.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}y eta -y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{2}}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-\frac{1}{2}\right)-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{10}{7}\\-\frac{2}{7}&\frac{6}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 6\\-\frac{2}{7}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{7}\\-\frac{12}{7}\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x-y\right)-2y=6$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-y biderkatzeko.

$$3x-3y-2y=6$$

-5y lortzeko, konbinatu -3y eta -2y.

$$3x-5y=6$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Zatitu 2x+y ekuazioko gai bakoitza 2 balioarekin, x+\frac{1}{2}y lortzeko.

$$x+\frac{1}{2}y=y$$

Kendu y bi aldeetatik.

$$x+\frac{1}{2}y-y=0$$

-\frac{1}{2}y lortzeko, konbinatu \frac{1}{2}y eta -y.

$$x-\frac{1}{2}y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-5y=6,x-\frac{1}{2}y=0$$

3x eta x berdintzeko, biderkatu 1 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3x-5y=6,3x+3\left(-\frac{1}{2}\right)y=0$$

Sinplifikatu.

$$3x-5y=6,3x-\frac{3}{2}y=0$$

Egin 3x-\frac{3}{2}y=0 ken 3x-5y=6 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$3x-3x-5y+\frac{3}{2}y=6$$

Gehitu 3x eta -3x. Sinplifikatu egiten dira 3x eta -3x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-5y+\frac{3}{2}y=6$$

Gehitu -5y eta \frac{3y}{2}.

$$-\frac{7}{2}y=6$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{7}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-\frac{12}{7}$$

Ordeztu -\frac{12}{7} y balioarekin x-\frac{1}{2}y=0 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x-\frac{1}{2}\left(-\frac{12}{7}\right)=0$$

Egin -\frac{1}{2} bider -\frac{12}{7}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x+\frac{6}{7}=0$$

Egin ken \frac{6}{7} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{6}{7}$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-\frac{6}{7},y=-\frac{12}{7}$$