Resolver {l}{x/2=y/3}{4x-3y=3}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { x } { 2 } = \frac { y } { 3 } } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-6$$

$$y=-9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x=2y$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$x=\frac{1}{3}\times 2y$$

Egin \frac{1}{3} bider 2y.

$$x=\frac{2}{3}y$$

Ordeztu \frac{2y}{3} balioa x balioarekin beste ekuazioan (4x-3y=3).

$$4\times \frac{2}{3}y-3y=3$$

Egin 4 bider \frac{2y}{3}.

$$\frac{8}{3}y-3y=3$$

Gehitu \frac{8y}{3} eta -3y.

$$-\frac{1}{3}y=3$$

Biderkatu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin x=\frac{2}{3}y ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{2}{3}\left(-9\right)$$

Egin \frac{2}{3} bider -9.

$$x=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-6,y=-9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x-2y=0$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$3x-2y=0,4x-3y=3$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 4\right)}&\frac{3}{3\left(-3\right)-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\3\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 3\\-3\times 3\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-6,y=-9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 6 balioarekin (2,3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3x=2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$3x-2y=0$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$3x-2y=0,4x-3y=3$$

3x eta 4x berdintzeko, biderkatu 4 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 3 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$4\times 3x+4\left(-2\right)y=0,3\times 4x+3\left(-3\right)y=3\times 3$$

Sinplifikatu.

$$12x-8y=0,12x-9y=9$$

Egin 12x-9y=9 ken 12x-8y=0 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$12x-12x-8y+9y=-9$$

Gehitu 12x eta -12x. Sinplifikatu egiten dira 12x eta -12x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-8y+9y=-9$$

Gehitu -8y eta 9y.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin 4x-3y=3 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$4x-3\left(-9\right)=3$$

Egin -3 bider -9.

$$4x+27=3$$

Egin ken 27 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-24$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=-6$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-6,y=-9$$