Resolver {l}{2x/3-3y/4=1}{1y/8-5x/6=2}

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x } { 3 } - \frac { 3 y } { 4 } = 1 } \\ { \frac { 1 y } { 8 } - \frac { 5 x } { 6 } = 2 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=-3$$

$$y=-4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\times 2x-3\times 3y=12$$

8 lortzeko, biderkatu 4 eta 2.

$$8x-3\times 3y=12$$

-9 lortzeko, biderkatu -3 eta 3.

$$8x-9y=12$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin (8,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\times 1y-4\times 5x=48$$

3 lortzeko, biderkatu 3 eta 1.

$$3y-4\times 5x=48$$

-20 lortzeko, biderkatu -4 eta 5.

$$3y-20x=48$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$8x-9y=12,-20x+3y=48$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$8x-9y=12$$

Gehitu 9y ekuazioaren bi aldeetan.

$$8x=9y+12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+12\right)$$

Egin \frac{1}{8} bider 9y+12.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{3}{2}$$

Ordeztu \frac{9y}{8}+\frac{3}{2} balioa x balioarekin beste ekuazioan (-20x+3y=48).

$$-20\left(\frac{9}{8}y+\frac{3}{2}\right)+3y=48$$

Egin -20 bider \frac{9y}{8}+\frac{3}{2}.

$$-\frac{45}{2}y-30+3y=48$$

Gehitu -\frac{45y}{2} eta 3y.

$$-\frac{39}{2}y-30=48$$

Gehitu 30 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-\frac{39}{2}y=78$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -\frac{39}{2} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin x=\frac{9}{8}y+\frac{3}{2} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=\frac{9}{8}\left(-4\right)+\frac{3}{2}$$

Egin \frac{9}{8} bider -4.

$$x=\frac{-9+3}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} eta -\frac{9}{2} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-4$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\times 2x-3\times 3y=12$$

8 lortzeko, biderkatu 4 eta 2.

$$8x-3\times 3y=12$$

-9 lortzeko, biderkatu -3 eta 3.

$$8x-9y=12$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin (8,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\times 1y-4\times 5x=48$$

3 lortzeko, biderkatu 3 eta 1.

$$3y-4\times 5x=48$$

-20 lortzeko, biderkatu -4 eta 5.

$$3y-20x=48$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$8x-9y=12,-20x+3y=48$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-20&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}8&-9\\-20&3\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-20&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-20&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-20&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-20&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-20&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-20\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-20\right)\right)}\\-\frac{-20}{8\times 3-\left(-9\left(-20\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-20\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{52}&-\frac{3}{52}\\-\frac{5}{39}&-\frac{2}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\48\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{52}\times 12-\frac{3}{52}\times 48\\-\frac{5}{39}\times 12-\frac{2}{39}\times 48\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-4\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=-3,y=-4$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (3,4 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4\times 2x-3\times 3y=12$$

8 lortzeko, biderkatu 4 eta 2.

$$8x-3\times 3y=12$$

-9 lortzeko, biderkatu -3 eta 3.

$$8x-9y=12$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 24 balioarekin (8,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\times 1y-4\times 5x=48$$

3 lortzeko, biderkatu 3 eta 1.

$$3y-4\times 5x=48$$

-20 lortzeko, biderkatu -4 eta 5.

$$3y-20x=48$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$8x-9y=12,-20x+3y=48$$

8x eta -20x berdintzeko, biderkatu -20 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 8 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$-20\times 8x-20\left(-9\right)y=-20\times 12,8\left(-20\right)x+8\times 3y=8\times 48$$

Sinplifikatu.

$$-160x+180y=-240,-160x+24y=384$$

Egin -160x+24y=384 ken -160x+180y=-240 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-160x+160x+180y-24y=-240-384$$

Gehitu -160x eta 160x. Sinplifikatu egiten dira -160x eta 160x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$180y-24y=-240-384$$

Gehitu 180y eta -24y.

$$156y=-240-384$$

Gehitu -240 eta -384.

$$156y=-624$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 156 balioarekin.

$$y=-4$$

Ordeztu -4 y balioarekin -20x+3y=48 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-20x+3\left(-4\right)=48$$

Egin 3 bider -4.

$$-20x-12=48$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-20x=60$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$x=-3$$

Ebatzi da sistema.

$$x=-3,y=-4$$