Resolver {c}{x+4y=12}{2x-y=6}

$$\left\{ \begin{array} { c } { x + 4 y = 12 } \\ { 2 x - y = 6 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$x+4y=12$$

Egin ken 4y ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-4y+12$$

Ordeztu -4y+12 balioa x balioarekin beste ekuazioan (2x-y=6).

$$2\left(-4y+12\right)-y=6$$

Egin 2 bider -4y+12.

$$-8y+24-y=6$$

Gehitu -8y eta -y.

$$-9y+24=6$$

Egin ken 24 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-9y=-18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -9 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin x=-4y+12 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-4\times 2+12$$

Egin -4 bider 2.

$$x=-8+12$$

Gehitu 12 eta -8.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=2$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&4\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-4\times 2}&-\frac{4}{-1-4\times 2}\\-\frac{2}{-1-4\times 2}&\frac{1}{-1-4\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\6\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 12+\frac{4}{9}\times 6\\\frac{2}{9}\times 12-\frac{1}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=4,y=2$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$x+4y=12,2x-y=6$$

x eta 2x berdintzeko, biderkatu 2 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 1 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$2x+2\times 4y=2\times 12,2x-y=6$$

Sinplifikatu.

$$2x+8y=24,2x-y=6$$

Egin 2x-y=6 ken 2x+8y=24 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$2x-2x+8y+y=24-6$$

Gehitu 2x eta -2x. Sinplifikatu egiten dira 2x eta -2x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$8y+y=24-6$$

Gehitu 8y eta y.

$$9y=24-6$$

Gehitu 24 eta -6.

$$9y=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$y=2$$

Ordeztu 2 y balioarekin 2x-y=6 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$2x-2=6$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=8$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=4$$

Ebatzi da sistema.

$$x=4,y=2$$