Resolver {c}{3y-9=4x-4y+5}{5y-3=-(x+2)+1+2y}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 3 y - 9 = 4 x - 4 y + 5 } \\ { 5 y - 3 = - ( x + 2 ) + 1 + 2 y } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x = -\frac{28}{19} = -1\frac{9}{19} \approx -1.473684211$$

$$y = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

Gehitu 4y bi aldeetan.

$$3y-9-4x+4y=5$$

7y lortzeko, konbinatu 3y eta 4y.

$$7y-9-4x=5$$

Gehitu 9 bi aldeetan.

$$7y-4x=5+9$$

14 lortzeko, gehitu 5 eta 9.

$$7y-4x=14$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x+2 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-1 lortzeko, gehitu -2 eta 1.

$$5y-3=-x-1+2y$$

Gehitu x bi aldeetan.

$$5y-3+x=-1+2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$5y-3+x-2y=-1$$

3y lortzeko, konbinatu 5y eta -2y.

$$3y-3+x=-1$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$3y+x=-1+3$$

2 lortzeko, gehitu -1 eta 3.

$$3y+x=2$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$7y-4x=14$$

Gehitu 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$7y=4x+14$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 7 balioarekin.

$$y=\frac{1}{7}\left(4x+14\right)$$

Egin \frac{1}{7} bider 4x+14.

$$y=\frac{4}{7}x+2$$

Ordeztu \frac{4x}{7}+2 balioa y balioarekin beste ekuazioan (3y+x=2).

$$3\left(\frac{4}{7}x+2\right)+x=2$$

Egin 3 bider \frac{4x}{7}+2.

$$\frac{12}{7}x+6+x=2$$

Gehitu \frac{12x}{7} eta x.

$$\frac{19}{7}x+6=2$$

Egin ken 6 ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{19}{7}x=-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{19}{7} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$x=-\frac{28}{19}$$

Ordeztu -\frac{28}{19} x balioarekin y=\frac{4}{7}x+2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{4}{7}\left(-\frac{28}{19}\right)+2$$

Egin \frac{4}{7} bider -\frac{28}{19}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=-\frac{16}{19}+2$$

Gehitu 2 eta -\frac{16}{19}.

$$y=\frac{22}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

Gehitu 4y bi aldeetan.

$$3y-9-4x+4y=5$$

7y lortzeko, konbinatu 3y eta 4y.

$$7y-9-4x=5$$

Gehitu 9 bi aldeetan.

$$7y-4x=5+9$$

14 lortzeko, gehitu 5 eta 9.

$$7y-4x=14$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x+2 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-1 lortzeko, gehitu -2 eta 1.

$$5y-3=-x-1+2y$$

Gehitu x bi aldeetan.

$$5y-3+x=-1+2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$5y-3+x-2y=-1$$

3y lortzeko, konbinatu 5y eta -2y.

$$3y-3+x=-1$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$3y+x=-1+3$$

2 lortzeko, gehitu -1 eta 3.

$$3y+x=2$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-4\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-4\times 3\right)}&-\frac{-4}{7-\left(-4\times 3\right)}\\-\frac{3}{7-\left(-4\times 3\right)}&\frac{7}{7-\left(-4\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}&\frac{4}{19}\\-\frac{3}{19}&\frac{7}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\2\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{19}\times 14+\frac{4}{19}\times 2\\-\frac{3}{19}\times 14+\frac{7}{19}\times 2\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\-\frac{28}{19}\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Kendu 4x bi aldeetatik.

$$3y-9-4x=-4y+5$$

Gehitu 4y bi aldeetan.

$$3y-9-4x+4y=5$$

7y lortzeko, konbinatu 3y eta 4y.

$$7y-9-4x=5$$

Gehitu 9 bi aldeetan.

$$7y-4x=5+9$$

14 lortzeko, gehitu 5 eta 9.

$$7y-4x=14$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. x+2 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$5y-3=-x-2+1+2y$$

-1 lortzeko, gehitu -2 eta 1.

$$5y-3=-x-1+2y$$

Gehitu x bi aldeetan.

$$5y-3+x=-1+2y$$

Kendu 2y bi aldeetatik.

$$5y-3+x-2y=-1$$

3y lortzeko, konbinatu 5y eta -2y.

$$3y-3+x=-1$$

Gehitu 3 bi aldeetan.

$$3y+x=-1+3$$

2 lortzeko, gehitu -1 eta 3.

$$3y+x=2$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$7y-4x=14,3y+x=2$$

7y eta 3y berdintzeko, biderkatu 3 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 7 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$3\times 7y+3\left(-4\right)x=3\times 14,7\times 3y+7x=7\times 2$$

Sinplifikatu.

$$21y-12x=42,21y+7x=14$$

Egin 21y+7x=14 ken 21y-12x=42 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$21y-21y-12x-7x=42-14$$

Gehitu 21y eta -21y. Sinplifikatu egiten dira 21y eta -21y. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-12x-7x=42-14$$

Gehitu -12x eta -7x.

$$-19x=42-14$$

Gehitu 42 eta -14.

$$-19x=28$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -19 balioarekin.

$$x=-\frac{28}{19}$$

Ordeztu -\frac{28}{19} x balioarekin 3y+x=2 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$3y-\frac{28}{19}=2$$

Gehitu \frac{28}{19} ekuazioaren bi aldeetan.

$$3y=\frac{66}{19}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3 balioarekin.

$$y=\frac{22}{19}$$

Ebatzi da sistema.

$$y=\frac{22}{19},x=-\frac{28}{19}$$