Resolver {c}{2(3x-y)=2(x-5y)-64}{3(3x-2)-2y=30}

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 ( 3 x - y ) = 2 ( x - 5 y ) - 64 } \\ { 3 ( 3 x - 2 ) - 2 y = 30 } \end{array} \right.$$

Ebatzi: x, y

$$x=2$$

$$y=-9$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x-y biderkatzeko.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-5y biderkatzeko.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

4x lortzeko, konbinatu 6x eta -2x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Gehitu 10y bi aldeetan.

$$4x-2y+10y=-64$$

8y lortzeko, konbinatu -2y eta 10y.

$$4x+8y=-64$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-2 biderkatzeko.

$$9x-6-2y=30$$

Gehitu 6 bi aldeetan.

$$9x-2y=30+6$$

36 lortzeko, gehitu 30 eta 6.

$$9x-2y=36$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi x. Horretarako, isolatu x berdin ikurraren ezkerraldean.

$$4x+8y=-64$$

Egin ken 8y ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=-8y-64$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y-64\right)$$

Egin \frac{1}{4} bider -8y-64.

$$x=-2y-16$$

Ordeztu -2y-16 balioa x balioarekin beste ekuazioan (9x-2y=36).

$$9\left(-2y-16\right)-2y=36$$

Egin 9 bider -2y-16.

$$-18y-144-2y=36$$

Gehitu -18y eta -2y.

$$-20y-144=36$$

Gehitu 144 ekuazioaren bi aldeetan.

$$-20y=180$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -20 balioarekin.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin x=-2y-16 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$x=-2\left(-9\right)-16$$

Egin -2 bider -9.

$$x=18-16$$

Gehitu -16 eta 18.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-9$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x-y biderkatzeko.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-5y biderkatzeko.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

4x lortzeko, konbinatu 6x eta -2x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Gehitu 10y bi aldeetan.

$$4x-2y+10y=-64$$

8y lortzeko, konbinatu -2y eta 10y.

$$4x+8y=-64$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-2 biderkatzeko.

$$9x-6-2y=30$$

Gehitu 6 bi aldeetan.

$$9x-2y=30+6$$

36 lortzeko, gehitu 30 eta 6.

$$9x-2y=36$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-8\times 9}&-\frac{8}{4\left(-2\right)-8\times 9}\\-\frac{9}{4\left(-2\right)-8\times 9}&\frac{4}{4\left(-2\right)-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{80}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-64\\36\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{40}\left(-64\right)+\frac{1}{10}\times 36\\\frac{9}{80}\left(-64\right)-\frac{1}{20}\times 36\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-9\end{matrix}\right)$$

Atera x eta y matrize-elementuak.

$$x=2,y=-9$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 2 eta 3x-y biderkatzeko.

$$6x-2y=2\left(x-5y\right)-64$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta x-5y biderkatzeko.

$$6x-2y=2x-10y-64$$

Kendu 2x bi aldeetatik.

$$6x-2y-2x=-10y-64$$

4x lortzeko, konbinatu 6x eta -2x.

$$4x-2y=-10y-64$$

Gehitu 10y bi aldeetan.

$$4x-2y+10y=-64$$

8y lortzeko, konbinatu -2y eta 10y.

$$4x+8y=-64$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3x-2 biderkatzeko.

$$9x-6-2y=30$$

Gehitu 6 bi aldeetan.

$$9x-2y=30+6$$

36 lortzeko, gehitu 30 eta 6.

$$9x-2y=36$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$4x+8y=-64,9x-2y=36$$

4x eta 9x berdintzeko, biderkatu 9 balioarekin lehenengo ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak, eta biderkatu 4 balioarekin bigarren ekuazioaren bi aldeetan dauden gaiak.

$$9\times 4x+9\times 8y=9\left(-64\right),4\times 9x+4\left(-2\right)y=4\times 36$$

Sinplifikatu.

$$36x+72y=-576,36x-8y=144$$

Egin 36x-8y=144 ken 36x+72y=-576 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$36x-36x+72y+8y=-576-144$$

Gehitu 36x eta -36x. Sinplifikatu egiten dira 36x eta -36x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$72y+8y=-576-144$$

Gehitu 72y eta 8y.

$$80y=-576-144$$

Gehitu -576 eta -144.

$$80y=-720$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 80 balioarekin.

$$y=-9$$

Ordeztu -9 y balioarekin 9x-2y=36 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$9x-2\left(-9\right)=36$$

Egin -2 bider -9.

$$9x+18=36$$

Egin ken 18 ekuazioaren bi aldeetan.

$$9x=18$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 9 balioarekin.

$$x=2$$

Ebatzi da sistema.

$$x=2,y=-9$$