Resolver {c}{3-2y/4-1/4=1-2x/6}{25/8-1=frac{x+3}{2}-frac{3(1+y)}{8}}

$$\left\{ \begin{array} { c } { \frac { 3 - 2 y } { 4 } - \frac { 1 } { 4 } = \frac { 1 - 2 x } { 6 } } \\ { \frac { 25 } { 8 } - 1 = \frac { x + 3 } { 2 } - \frac { 3 ( 1 + y ) } { 8 } } \end{array} \right.$$

Ebatzi: y, x

$$x=5$$

$$y=4$$

Ordezkapenaren bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3-2y biderkatzeko.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

6 lortzeko, 9 balioari kendu 3.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta 1-2x biderkatzeko.

$$6-6y=2-4x$$

Gehitu 4x bi aldeetan.

$$6-6y+4x=2$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$-6y+4x=2-6$$

-4 lortzeko, 2 balioari kendu 6.

$$-6y+4x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin (8,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

17 lortzeko, 25 balioari kendu 8.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+3 biderkatzeko.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta 1+y biderkatzeko.

$$17=4x+12-3-3y$$

9 lortzeko, 12 balioari kendu 3.

$$17=4x+9-3y$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$4x+9-3y=17$$

Kendu 9 bi aldeetatik.

$$4x-3y=17-9$$

8 lortzeko, 17 balioari kendu 9.

$$4x-3y=8$$

Ekuazio pare bat ordezkapen bidez ebazteko, lehenengo, ebatzi aldagaietako baten ekuazioa. Gero, beste ekuazioan, ordeztu aldagai horren balioa ekuazioaren emaitzarekin.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Aukeratu ekuazio bat eta ebatzi y. Horretarako, isolatu y berdin ikurraren ezkerraldean.

$$-6y+4x=-4$$

Egin ken 4x ekuazioaren bi aldeetan.

$$-6y=-4x-4$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -6 balioarekin.

$$y=-\frac{1}{6}\left(-4x-4\right)$$

Egin -\frac{1}{6} bider -4x-4.

$$y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}$$

Ordeztu \frac{2+2x}{3} balioa y balioarekin beste ekuazioan (-3y+4x=8).

$$-3\left(\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\right)+4x=8$$

Egin -3 bider \frac{2+2x}{3}.

$$-2x-2+4x=8$$

Gehitu -2x eta 4x.

$$2x-2=8$$

Gehitu 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$2x=10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$x=5$$

Ordeztu 5 x balioarekin y=\frac{2}{3}x+\frac{2}{3} ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, y ebatz dezakezu zuzenean.

$$y=\frac{2}{3}\times 5+\frac{2}{3}$$

Egin \frac{2}{3} bider 5.

$$y=\frac{10+2}{3}$$

Gehitu \frac{2}{3} eta \frac{10}{3} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$y=4$$

Ebatzi da sistema.

$$y=4,x=5$$

Matrizeen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3-2y biderkatzeko.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

6 lortzeko, 9 balioari kendu 3.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta 1-2x biderkatzeko.

$$6-6y=2-4x$$

Gehitu 4x bi aldeetan.

$$6-6y+4x=2$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$-6y+4x=2-6$$

-4 lortzeko, 2 balioari kendu 6.

$$-6y+4x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin (8,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

17 lortzeko, 25 balioari kendu 8.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+3 biderkatzeko.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta 1+y biderkatzeko.

$$17=4x+12-3-3y$$

9 lortzeko, 12 balioari kendu 3.

$$17=4x+9-3y$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$4x+9-3y=17$$

Kendu 9 bi aldeetatik.

$$4x-3y=17-9$$

8 lortzeko, 17 balioari kendu 9.

$$4x-3y=8$$

Jarri ekuazioak ohiko eran eta erabili matrizeak ekuazio-sistema ebazteko.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Idatzi ekuazioak matrize forman.

$$\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu ezkerretik \left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right) matrizearen alderantzizkoa ekuazioarekin.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Matrize baten biderkadura eta haren alderantzizkoa da identitate-matrizea.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu berdin ikurraren ezkerraldeko matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-6&4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 matrizeari dagokionez, alderantzizko matrizea \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) da; ondorioz, matrizearen ekuazioa matrizeak biderkatzeko problema gisa idatz daiteke.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{4}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{-6\times 4-4\left(-3\right)}&-\frac{6}{-6\times 4-4\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\8\end{matrix}\right)$$

Biderkatu matrizeak.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{1}{3}\times 8\\-\frac{1}{4}\left(-4\right)+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Egin ariketa aritmetikoa.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Atera y eta x matrize-elementuak.

$$y=4,x=5$$

Ezabapen bidezko ebazpidea

Probatu lehenengo ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 12 balioarekin (4,6 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(3-2y\right)-3=2\left(1-2x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta 3-2y biderkatzeko.

$$9-6y-3=2\left(1-2x\right)$$

6 lortzeko, 9 balioari kendu 3.

$$6-6y=2\left(1-2x\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2 eta 1-2x biderkatzeko.

$$6-6y=2-4x$$

Gehitu 4x bi aldeetan.

$$6-6y+4x=2$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$-6y+4x=2-6$$

-4 lortzeko, 2 balioari kendu 6.

$$-6y+4x=-4$$

Probatu bigarren ekuazioa sinplifikatuta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 8 balioarekin (8,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$25-8=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

17 lortzeko, 25 balioari kendu 8.

$$17=4\left(x+3\right)-3\left(1+y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 4 eta x+3 biderkatzeko.

$$17=4x+12-3\left(1+y\right)$$

Erabili banaketa-propietatea -3 eta 1+y biderkatzeko.

$$17=4x+12-3-3y$$

9 lortzeko, 12 balioari kendu 3.

$$17=4x+9-3y$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$4x+9-3y=17$$

Kendu 9 bi aldeetatik.

$$4x-3y=17-9$$

8 lortzeko, 17 balioari kendu 9.

$$4x-3y=8$$

Ezabapen bidez ebazteko, aldagaietako baten koefizienteak berdinak izan behar dira bi ekuazioetan. Horrela, sinplifikatu egingo da aldagaia ekuazio bat bestetik ateratzen denean.

$$-6y+4x=-4,-3y+4x=8$$

Egin -3y+4x=8 ken -6y+4x=-4 berdin ikurraren bi aldeetako antzeko gaien arteko kenketa eginez.

$$-6y+3y+4x-4x=-4-8$$

Gehitu 4x eta -4x. Sinplifikatu egiten dira 4x eta -4x. Beraz, ebatzi beharreko aldagai bakarra duen ekuazioa geratzen da.

$$-6y+3y=-4-8$$

Gehitu -6y eta 3y.

$$-3y=-4-8$$

Gehitu -4 eta -8.

$$-3y=-12$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -3 balioarekin.

$$y=4$$

Ordeztu 4 y balioarekin -3y+4x=8 ekuazioan. Emaitzak aldagai bakarra duenez, x ebatz dezakezu zuzenean.

$$-3\times 4+4x=8$$

Egin -3 bider 4.

$$-12+4x=8$$

Gehitu 12 ekuazioaren bi aldeetan.

$$4x=20$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 4 balioarekin.

$$x=5$$

Ebatzi da sistema.

$$y=4,x=5$$