Resolver 1/x^3+2x^2-x-2-2/1-x=3/x+1

$$\frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -x-2 } - \frac{ 2 }{ 1-x } = \frac{ 3 }{ x+1 }$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{\sqrt{53} + 3}{2} \approx 5.140054945$$

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}\approx -2.140054945$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -2,-1,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

-2 lortzeko, biderkatu -1 eta 2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 1+x biderkatzeko.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea -2-2x eta 2+x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

-4-6x-2x^{2} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

5 lortzeko, gehitu 1 eta 4.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}+x-2 eta 3 biderkatzeko.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Kendu 3x^{2} bi aldeetatik.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta -3x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

3x lortzeko, konbinatu 6x eta -3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Gehitu 6 bi aldeetan.

$$5+3x-x^{2}+6=0$$

11 lortzeko, gehitu 5 eta 6.

$$11+3x-x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-x^{2}+3x+11=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, 3 balioa b balioarekin, eta 11 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 3 ber bi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 11}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 9 eta 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu -3 eta \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{-2}$$

Zatitu -3+\sqrt{53} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{-3±\sqrt{53}}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin \sqrt{53} ken -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{-2}$$

Zatitu -3-\sqrt{53} balioa -2 balioarekin.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{3-\sqrt{53}}{2} x=\frac{\sqrt{53}+3}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -2,-1,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+2\right) balioarekin (x^{3}+2x^{2}-x-2,1-x,x+1 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$1-\left(-\left(1+x\right)\left(2+x\right)\times 2\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

-2 lortzeko, biderkatu -1 eta 2.

$$1-\left(-2\left(1+x\right)\left(2+x\right)\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea -2 eta 1+x biderkatzeko.

$$1-\left(-2-2x\right)\left(2+x\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea -2-2x eta 2+x biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$1-\left(-4-6x-2x^{2}\right)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

-4-6x-2x^{2} funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$1+4+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

5 lortzeko, gehitu 1 eta 4.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta x+2 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$5+6x+2x^{2}=\left(x^{2}+x-2\right)\times 3$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}+x-2 eta 3 biderkatzeko.

$$5+6x+2x^{2}=3x^{2}+3x-6$$

Kendu 3x^{2} bi aldeetatik.

$$5+6x+2x^{2}-3x^{2}=3x-6$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta -3x^{2}.

$$5+6x-x^{2}=3x-6$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$5+6x-x^{2}-3x=-6$$

3x lortzeko, konbinatu 6x eta -3x.

$$5+3x-x^{2}=-6$$

Kendu 5 bi aldeetatik.

$$3x-x^{2}=-6-5$$

-11 lortzeko, -6 balioari kendu 5.

$$3x-x^{2}=-11$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-x^{2}+3x=-11$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=-\frac{11}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=-\frac{11}{-1}$$

Zatitu 3 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-3x=-\frac{11}{-1}$$

Zatitu -11 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}-3x=11$$

Zatitu -3 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Gehitu 11 eta \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Atera x^{2}-3x+\frac{9}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Gehitu \frac{3}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{53}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{53}}{2}$$