Resolver x^3-1/(x-1)^2-x^3+1/(x+1)^2=6

$$\frac { x ^ { 3 } - 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \frac { x ^ { 3 } + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = 6$$

Ebatzi: x

$$x=2$$

$$x=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -1,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2} balioarekin (\left(x-1\right)^{2},\left(x+1\right)^{2} balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(x+1\right)^{2}\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$\left(x^{2}+2x+1\right)\left(x^{3}-1\right)-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}+2x+1 eta x^{3}-1 biderkatzeko.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x-1\right)^{2}\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

Erabili banaketa-propietatea x^{2}-2x+1 eta x^{3}+1 biderkatzeko.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-\left(x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1\right)=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

x^{5}+x^{2}-2x^{4}-2x+x^{3}+1 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x^{5}-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{5}-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

0 lortzeko, konbinatu x^{5} eta -x^{5}.

$$-x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1-x^{2}+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -x^{2}.

$$-2x^{2}+2x^{4}-2x+x^{3}-1+2x^{4}+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

4x^{4} lortzeko, konbinatu 2x^{4} eta 2x^{4}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2x+x^{3}-1+2x-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

0 lortzeko, konbinatu -2x eta 2x.

$$-2x^{2}+4x^{4}+x^{3}-1-x^{3}-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

0 lortzeko, konbinatu x^{3} eta -x^{3}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-1-1=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

-2 lortzeko, -1 balioari kendu 1.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x-1\right)^{2}\left(x+1\right)^{2}$$

\left(x-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x+1\right)^{2}$$

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6\left(x^{2}-2x+1\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 6 eta x^{2}-2x+1 biderkatzeko.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=\left(6x^{2}-12x+6\right)\left(x^{2}+2x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 6x^{2}-12x+6 eta x^{2}+2x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2=6x^{4}-12x^{2}+6$$

Kendu 6x^{4} bi aldeetatik.

$$-2x^{2}+4x^{4}-2-6x^{4}=-12x^{2}+6$$

-2x^{4} lortzeko, konbinatu 4x^{4} eta -6x^{4}.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2=-12x^{2}+6$$

Gehitu 12x^{2} bi aldeetan.

$$-2x^{2}-2x^{4}-2+12x^{2}=6$$

10x^{2} lortzeko, konbinatu -2x^{2} eta 12x^{2}.

$$10x^{2}-2x^{4}-2=6$$

Kendu 6 bi aldeetatik.

$$10x^{2}-2x^{4}-2-6=0$$

-8 lortzeko, -2 balioari kendu 6.

$$10x^{2}-2x^{4}-8=0$$

Ordeztu t balioa x^{2} balioarekin.

$$-2t^{2}+10t-8=0$$

ax^{2}+bx+c=0 erako ekuazio guztiak formula koadratiko honen bidez ebatz daitezke: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ordeztu -2 balioa a balioarekin, 10 balioa b balioarekin, eta -8 balioa c balioarekin formula koadratikoan.

$$t=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{-2\times 2}$$

Egin kalkuluak.

$$t=\frac{-10±6}{-4}$$

Ebatzi t=\frac{-10±6}{-4} ekuazioa ± plus denean eta ± minus denean.

$$t=1 t=4$$

x=t^{2} denez, t bakoitzarekin x=±\sqrt{t} ebaluatuz lortzen dira soluzioak.

$$x=1 x=-1 x=2 x=-2$$

x aldagaia ezin da etorri bat balio hauetako batekin: 1,-1.

$$x=-2 x=2$$