Resolver x^2-5/x-1=7x+10/9

$$\frac { x ^ { 2 } - 5 } { x - 1 } = \frac { 7 x + 10 } { 9 }$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{7}{2} = -3\frac{1}{2} = -3.5$$

$$x=5$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta 1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 9\left(x-1\right) balioarekin (x-1,9 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$9\left(x^{2}-5\right)=\left(x-1\right)\left(7x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 9 eta x^{2}-5 biderkatzeko.

$$9x^{2}-45=\left(x-1\right)\left(7x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 7x+10 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$9x^{2}-45=7x^{2}+3x-10$$

Kendu 7x^{2} bi aldeetatik.

$$9x^{2}-45-7x^{2}=3x-10$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu 9x^{2} eta -7x^{2}.

$$2x^{2}-45=3x-10$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x^{2}-45-3x=-10$$

Gehitu 10 bi aldeetan.

$$2x^{2}-45-3x+10=0$$

-35 lortzeko, gehitu -45 eta 10.

$$2x^{2}-35-3x=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$2x^{2}-3x-35=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, 2x^{2}+ax+bx-35 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-3 ab=2\left(-35\right)=-70$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -70 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-70 2,-35 5,-14 7,-10$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-70=-69 2-35=-33 5-14=-9 7-10=-3$$

-3 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-10 b=7$$

Berridatzi 2x^{2}-3x-35 honela: \left(2x^{2}-10x\right)+\left(7x-35\right).

$$\left(2x^{2}-10x\right)+\left(7x-35\right)$$

Deskonposatu 2x lehen taldean, eta 7 bigarren taldean.

$$2x\left(x-5\right)+7\left(x-5\right)$$

Deskonposatu x-5 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(x-5\right)\left(2x+7\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi x-5=0 eta 2x+7=0.

$$x=5 x=-\frac{7}{2}$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta 1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 9\left(x-1\right) balioarekin (x-1,9 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$9\left(x^{2}-5\right)=\left(x-1\right)\left(7x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 9 eta x^{2}-5 biderkatzeko.

$$9x^{2}-45=\left(x-1\right)\left(7x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 7x+10 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$9x^{2}-45=7x^{2}+3x-10$$

Kendu 7x^{2} bi aldeetatik.

$$9x^{2}-45-7x^{2}=3x-10$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu 9x^{2} eta -7x^{2}.

$$2x^{2}-45=3x-10$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x^{2}-45-3x=-10$$

Gehitu 10 bi aldeetan.

$$2x^{2}-45-3x+10=0$$

-35 lortzeko, gehitu -45 eta 10.

$$2x^{2}-35-3x=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$2x^{2}-3x-35=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu 2 balioa a balioarekin, -3 balioa b balioarekin, eta -35 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

Egin -3 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

Egin -4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-35\right)}}{2\times 2}$$

Egin -8 bider -35.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+280}}{2\times 2}$$

Gehitu 9 eta 280.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{289}}{2\times 2}$$

Atera 289 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±17}{2\times 2}$$

-3 zenbakiaren aurkakoa 3 da.

$$x=\frac{3±17}{2\times 2}$$

Egin 2 bider 2.

$$x=\frac{3±17}{4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±17}{4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 3 eta 17.

$$x=\frac{20}{4}$$

Zatitu 20 balioa 4 balioarekin.

$$x=5$$

Orain, ebatzi x=\frac{3±17}{4} ekuazioa ± minus denean. Egin 17 ken 3.

$$x=-\frac{14}{4}$$

Murriztu \frac{-14}{4} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{7}{2}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=5 x=-\frac{7}{2}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta 1 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 9\left(x-1\right) balioarekin (x-1,9 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$9\left(x^{2}-5\right)=\left(x-1\right)\left(7x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 9 eta x^{2}-5 biderkatzeko.

$$9x^{2}-45=\left(x-1\right)\left(7x+10\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 7x+10 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$9x^{2}-45=7x^{2}+3x-10$$

Kendu 7x^{2} bi aldeetatik.

$$9x^{2}-45-7x^{2}=3x-10$$

2x^{2} lortzeko, konbinatu 9x^{2} eta -7x^{2}.

$$2x^{2}-45=3x-10$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$2x^{2}-45-3x=-10$$

Gehitu 45 bi aldeetan.

$$2x^{2}-3x=-10+45$$

35 lortzeko, gehitu -10 eta 45.

$$2x^{2}-3x=35$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{35}{2}$$

2 balioarekin zatituz gero, 2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{35}{2}$$

Zatitu -\frac{3}{2} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{3}{4} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{3}{4} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{35}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Egin -\frac{3}{4} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{35}{2}+\frac{9}{16}$$

Gehitu \frac{35}{2} eta \frac{9}{16} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{289}{16}$$

Atera x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{17}{4}$$

Gehitu \frac{3}{4} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=5 x=-\frac{7}{2}$$