Resolver x^2+5/25-x^2=3/x+5+x/x-5

$$\frac { x ^ { 2 } + 5 } { 25 - x ^ { 2 } } = \frac { 3 } { x + 5 } + \frac { x } { x - 5 }$$

Ebatzi: x

$$x=1$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -5,5 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-5\right)\left(x+5\right) balioarekin (25-x^{2},x+5,x-5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

x^{2}+5 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Erabili banaketa-propietatea x-5 eta 3 biderkatzeko.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Erabili banaketa-propietatea x+5 eta x biderkatzeko.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

8x lortzeko, konbinatu 3x eta 5x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Kendu 8x bi aldeetatik.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Kendu -15 bi aldeetatik.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

-15 zenbakiaren aurkakoa 15 da.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

10 lortzeko, gehitu -5 eta 15.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$-x^{2}+5-4x=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-x^{2}-4x+5=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+5 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-4 ab=-5=-5$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=1 b=-5$$

Berridatzi -x^{2}-4x+5 honela: \left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-5x+5\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 5 bigarren taldean.

$$x\left(-x+1\right)+5\left(-x+1\right)$$

Deskonposatu -x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+1\right)\left(x+5\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+1=0 eta x+5=0.

$$x=1 x=-5$$

x aldagaia eta -5 ezin dira izan berdinak.

$$x=1$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -5,5 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-5\right)\left(x+5\right) balioarekin (25-x^{2},x+5,x-5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

x^{2}+5 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Erabili banaketa-propietatea x-5 eta 3 biderkatzeko.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Erabili banaketa-propietatea x+5 eta x biderkatzeko.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

8x lortzeko, konbinatu 3x eta 5x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Kendu 8x bi aldeetatik.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Kendu -15 bi aldeetatik.

$$-x^{2}-5-8x-\left(-15\right)=x^{2}$$

-15 zenbakiaren aurkakoa 15 da.

$$-x^{2}-5-8x+15=x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-x^{2}-5-8x+15-x^{2}=0$$

10 lortzeko, gehitu -5 eta 15.

$$-x^{2}+10-8x-x^{2}=0$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -x^{2}.

$$-2x^{2}+10-8x=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-2x^{2}-8x+10=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -2 balioa a balioarekin, -8 balioa b balioarekin, eta 10 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -8 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-2\right)\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -4 bider -2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+8\times 10}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 8 bider 10.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+80}}{2\left(-2\right)}$$

Gehitu 64 eta 80.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{144}}{2\left(-2\right)}$$

Atera 144 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±12}{2\left(-2\right)}$$

-8 zenbakiaren aurkakoa 8 da.

$$x=\frac{8±12}{2\left(-2\right)}$$

Egin 2 bider -2.

$$x=\frac{8±12}{-4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±12}{-4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 8 eta 12.

$$x=\frac{20}{-4}$$

Zatitu 20 balioa -4 balioarekin.

$$x=-5$$

Orain, ebatzi x=\frac{8±12}{-4} ekuazioa ± minus denean. Egin 12 ken 8.

$$x=-\frac{4}{-4}$$

Zatitu -4 balioa -4 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-5 x=1$$

x aldagaia eta -5 ezin dira izan berdinak.

$$x=1$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -5,5 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-5\right)\left(x+5\right) balioarekin (25-x^{2},x+5,x-5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$-\left(x^{2}+5\right)=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

x^{2}+5 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$-x^{2}-5=\left(x-5\right)\times 3+\left(x+5\right)x$$

Erabili banaketa-propietatea x-5 eta 3 biderkatzeko.

$$-x^{2}-5=3x-15+\left(x+5\right)x$$

Erabili banaketa-propietatea x+5 eta x biderkatzeko.

$$-x^{2}-5=3x-15+x^{2}+5x$$

8x lortzeko, konbinatu 3x eta 5x.

$$-x^{2}-5=8x-15+x^{2}$$

Kendu 8x bi aldeetatik.

$$-x^{2}-5-8x=-15+x^{2}$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-x^{2}-5-8x-x^{2}=-15$$

-2x^{2} lortzeko, konbinatu -x^{2} eta -x^{2}.

$$-2x^{2}-5-8x=-15$$

Gehitu 5 bi aldeetan.

$$-2x^{2}-8x=-15+5$$

-10 lortzeko, gehitu -15 eta 5.

$$-2x^{2}-8x=-10$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$\frac{-2x^{2}-8x}{-2}=-\frac{10}{-2}$$

-2 balioarekin zatituz gero, -2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-2}\right)x=-\frac{10}{-2}$$

Zatitu -8 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}+4x=-\frac{10}{-2}$$

Zatitu -10 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}+4x=5$$

Zatitu 4 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta 2 lortuko duzu. Ondoren, gehitu 2 balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+4x+2^{2}=5+2^{2}$$

Egin 2 ber bi.

$$x^{2}+4x+4=5+4$$

Gehitu 5 eta 4.

$$x^{2}+4x+4=9$$

Atera x^{2}+4x+4 balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+2\right)^{2}=9$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Sinplifikatu.

$$x+2=3 x+2=-3$$

Egin ken 2 ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-5$$

x aldagaia eta -5 ezin dira izan berdinak.

$$x=1$$