Resolver x+1/x+x/x+1=5/2

$$\frac { x + 1 } { x } + \frac { x } { x + 1 } = \frac { 5 } { 2 }$$

Ebatzi: x

$$x=1$$

$$x=-2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2x\left(x+1\right) balioarekin (x,x+1,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x+2 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta 2x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5x eta x+1 biderkatzeko.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Kendu 5x^{2} bi aldeetatik.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -5x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

-x lortzeko, konbinatu 4x eta -5x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+2 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=-2=-2$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Halako pare bakarra sistemaren soluzioa da.

$$a=1 b=-2$$

Berridatzi -x^{2}-x+2 honela: \left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 2 bigarren taldean.

$$x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Deskonposatu -x+1 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+1\right)\left(x+2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+1=0 eta x+2=0.

$$x=1 x=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2x\left(x+1\right) balioarekin (x,x+1,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x+2 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta 2x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5x eta x+1 biderkatzeko.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Kendu 5x^{2} bi aldeetatik.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -5x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

-x lortzeko, konbinatu 4x eta -5x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -1 balioa a balioarekin, -1 balioa b balioarekin, eta 2 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Egin -4 bider -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 2}}{2\left(-1\right)}$$

Egin 4 bider 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+8}}{2\left(-1\right)}$$

Gehitu 1 eta 8.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

Atera 9 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±3}{2\left(-1\right)}$$

-1 zenbakiaren aurkakoa 1 da.

$$x=\frac{1±3}{2\left(-1\right)}$$

Egin 2 bider -1.

$$x=\frac{1±3}{-2}$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±3}{-2} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 1 eta 3.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Zatitu 4 balioa -2 balioarekin.

$$x=-2$$

Orain, ebatzi x=\frac{1±3}{-2} ekuazioa ± minus denean. Egin 3 ken 1.

$$x=-\frac{2}{-2}$$

Zatitu -2 balioa -2 balioarekin.

$$x=1$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-2 x=1$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -1,0 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 2x\left(x+1\right) balioarekin (x,x+1,2 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(2x+2\right)\left(x+1\right)+2xx=5x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x+2 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$2x^{2}+4x+2+2xx=5x\left(x+1\right)$$

x^{2} lortzeko, biderkatu x eta x.

$$2x^{2}+4x+2+2x^{2}=5x\left(x+1\right)$$

4x^{2} lortzeko, konbinatu 2x^{2} eta 2x^{2}.

$$4x^{2}+4x+2=5x\left(x+1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 5x eta x+1 biderkatzeko.

$$4x^{2}+4x+2=5x^{2}+5x$$

Kendu 5x^{2} bi aldeetatik.

$$4x^{2}+4x+2-5x^{2}=5x$$

-x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -5x^{2}.

$$-x^{2}+4x+2=5x$$

Kendu 5x bi aldeetatik.

$$-x^{2}+4x+2-5x=0$$

-x lortzeko, konbinatu 4x eta -5x.

$$-x^{2}-x+2=0$$

Kendu 2 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-x^{2}-x=-2$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -1 balioarekin.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{2}{-1}$$

-1 balioarekin zatituz gero, -1 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{2}{-1}$$

Zatitu -1 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+x=-\frac{2}{-1}$$

Zatitu -2 balioa -1 balioarekin.

$$x^{2}+x=2$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Gehitu 2 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=1 x=-2$$