Resolver 50/49x^2-11/49x-24/49=0

$$\frac { 50 } { 49 } x ^ { 2 } - \frac { 11 } { 49 } x - \frac { 24 } { 49 } = 0$$

Ebatzi: x

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100}\approx 0.811498396$$

$$x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}\approx -0.591498396$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x-\frac{24}{49}=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu \frac{50}{49} balioa a balioarekin, -\frac{11}{49} balioa b balioarekin, eta -\frac{24}{49} balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\left(-\frac{11}{49}\right)^{2}-4\times \frac{50}{49}\left(-\frac{24}{49}\right)}}{2\times \frac{50}{49}}$$

Egin -\frac{11}{49} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{121}{2401}-4\times \frac{50}{49}\left(-\frac{24}{49}\right)}}{2\times \frac{50}{49}}$$

Egin -4 bider \frac{50}{49}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{121}{2401}-\frac{200}{49}\left(-\frac{24}{49}\right)}}{2\times \frac{50}{49}}$$

Egin -\frac{200}{49} bider -\frac{24}{49}, zenbakitzailea zenbakitzailearekin eta izendatzailea eta izendatzailearekin biderkatuta. Gero, ahal dela, sinplifikatu zatikia, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{121+4800}{2401}}}{2\times \frac{50}{49}}$$

Gehitu \frac{121}{2401} eta \frac{4800}{2401} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\sqrt{\frac{703}{343}}}{2\times \frac{50}{49}}$$

Atera \frac{703}{343} balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-\frac{11}{49}\right)±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{2\times \frac{50}{49}}$$

-\frac{11}{49} zenbakiaren aurkakoa \frac{11}{49} da.

$$x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{2\times \frac{50}{49}}$$

Egin 2 bider \frac{50}{49}.

$$x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{\frac{100}{49}}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{\frac{100}{49}} ekuazioa ± plus denean. Gehitu \frac{11}{49} eta \frac{\sqrt{4921}}{49}.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{\frac{100}{49}\times 49}$$

Zatitu \frac{11+\sqrt{4921}}{49} balioa \frac{100}{49} frakzioarekin, \frac{11+\sqrt{4921}}{49} balioa \frac{100}{49} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100}$$

Orain, ebatzi x=\frac{\frac{11}{49}±\frac{\sqrt{4921}}{49}}{\frac{100}{49}} ekuazioa ± minus denean. Egin \frac{\sqrt{4921}}{49} ken \frac{11}{49}.

$$x=\frac{11-\sqrt{4921}}{\frac{100}{49}\times 49}$$

Zatitu \frac{11-\sqrt{4921}}{49} balioa \frac{100}{49} frakzioarekin, \frac{11-\sqrt{4921}}{49} balioa \frac{100}{49} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100} x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}$$

Karratua osatzeko urratsak

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x-\frac{24}{49}=0$$

Gehitu \frac{24}{49} ekuazioaren bi aldeetan.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x-\frac{24}{49}-\left(-\frac{24}{49}\right)=-\left(-\frac{24}{49}\right)$$

-\frac{24}{49} balioari bere burua kenduz gero, 0 da emaitza.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x=-\left(-\frac{24}{49}\right)$$

Egin -\frac{24}{49} ken 0.

$$\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x=\frac{24}{49}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \frac{50}{49} balioarekin. Bi aldeak frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatzearen berdina da.

$$\frac{\frac{50}{49}x^{2}-\frac{11}{49}x}{\frac{50}{49}}=\frac{\frac{24}{49}}{\frac{50}{49}}$$

\frac{50}{49} balioarekin zatituz gero, \frac{50}{49} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{11}{49}}{\frac{50}{49}}\right)x=\frac{\frac{24}{49}}{\frac{50}{49}}$$

Zatitu -\frac{11}{49} balioa \frac{50}{49} frakzioarekin, -\frac{11}{49} balioa \frac{50}{49} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x=\frac{\frac{24}{49}}{\frac{50}{49}}$$

Zatitu \frac{24}{49} balioa \frac{50}{49} frakzioarekin, \frac{24}{49} balioa \frac{50}{49} frakzioaren frakzio erreziprokoarekin biderkatuz.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x=\frac{12}{25}$$

Zatitu -\frac{11}{50} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta -\frac{11}{100} lortuko duzu. Ondoren, gehitu -\frac{11}{100} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x+\left(-\frac{11}{100}\right)^{2}=\frac{12}{25}+\left(-\frac{11}{100}\right)^{2}$$

Egin -\frac{11}{100} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x+\frac{121}{10000}=\frac{12}{25}+\frac{121}{10000}$$

Gehitu \frac{12}{25} eta \frac{121}{10000} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}-\frac{11}{50}x+\frac{121}{10000}=\frac{4921}{10000}$$

Atera x^{2}-\frac{11}{50}x+\frac{121}{10000} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x-\frac{11}{100}\right)^{2}=\frac{4921}{10000}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{100}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4921}{10000}}$$

Sinplifikatu.

$$x-\frac{11}{100}=\frac{\sqrt{4921}}{100} x-\frac{11}{100}=-\frac{\sqrt{4921}}{100}$$

Gehitu \frac{11}{100} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{\sqrt{4921}+11}{100} x=\frac{11-\sqrt{4921}}{100}$$