Resolver 4x^2/x^2+25-10x+2x-24x-120/x-5=0

$$\frac { 4 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } + 25 - 10 x } + \frac { 2 x - 24 x - 120 } { x - 5 } = 0$$

Ebatzi: x

$$x = \frac{5 \sqrt{433} - 5}{18} \approx 5.502403346$$

$$x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18}\approx -6.057958902$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta 5 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-5\right)^{2} balioarekin (x^{2}+25-10x,x-5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(2x-24x-120\right)=0$$

-22x lortzeko, konbinatu 2x eta -24x.

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(-22x-120\right)=0$$

Erabili banaketa-propietatea x-5 eta -22x-120 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$4x^{2}-22x^{2}-10x+600=0$$

-18x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -22x^{2}.

$$-18x^{2}-10x+600=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -18 balioa a balioarekin, -10 balioa b balioarekin, eta 600 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-18\right)\times 600}}{2\left(-18\right)}$$

Egin -10 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-18\right)\times 600}}{2\left(-18\right)}$$

Egin -4 bider -18.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+72\times 600}}{2\left(-18\right)}$$

Egin 72 bider 600.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+43200}}{2\left(-18\right)}$$

Gehitu 100 eta 43200.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{43300}}{2\left(-18\right)}$$

Atera 43300 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±10\sqrt{433}}{2\left(-18\right)}$$

-10 zenbakiaren aurkakoa 10 da.

$$x=\frac{10±10\sqrt{433}}{2\left(-18\right)}$$

Egin 2 bider -18.

$$x=\frac{10±10\sqrt{433}}{-36}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±10\sqrt{433}}{-36} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 10 eta 10\sqrt{433}.

$$x=\frac{10\sqrt{433}+10}{-36}$$

Zatitu 10+10\sqrt{433} balioa -36 balioarekin.

$$x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18}$$

Orain, ebatzi x=\frac{10±10\sqrt{433}}{-36} ekuazioa ± minus denean. Egin 10\sqrt{433} ken 10.

$$x=\frac{10-10\sqrt{433}}{-36}$$

Zatitu 10-10\sqrt{433} balioa -36 balioarekin.

$$x=\frac{5\sqrt{433}-5}{18}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18} x=\frac{5\sqrt{433}-5}{18}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta 5 ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(x-5\right)^{2} balioarekin (x^{2}+25-10x,x-5 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(2x-24x-120\right)=0$$

-22x lortzeko, konbinatu 2x eta -24x.

$$4x^{2}+\left(x-5\right)\left(-22x-120\right)=0$$

Erabili banaketa-propietatea x-5 eta -22x-120 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$4x^{2}-22x^{2}-10x+600=0$$

-18x^{2} lortzeko, konbinatu 4x^{2} eta -22x^{2}.

$$-18x^{2}-10x+600=0$$

Kendu 600 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-18x^{2}-10x=-600$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -18 balioarekin.

$$\frac{-18x^{2}-10x}{-18}=-\frac{600}{-18}$$

-18 balioarekin zatituz gero, -18 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{-18}\right)x=-\frac{600}{-18}$$

Murriztu \frac{-10}{-18} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=-\frac{600}{-18}$$

Murriztu \frac{-600}{-18} zatikia gai txikienera, 6 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x=\frac{100}{3}$$

Zatitu \frac{5}{9} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{5}{18} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{5}{18} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{100}{3}+\left(\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Egin \frac{5}{18} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{100}{3}+\frac{25}{324}$$

Gehitu \frac{100}{3} eta \frac{25}{324} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=\frac{10825}{324}$$

Atera x^{2}+\frac{5}{9}x+\frac{25}{324} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}=\frac{10825}{324}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10825}{324}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{5}{18}=\frac{5\sqrt{433}}{18} x+\frac{5}{18}=-\frac{5\sqrt{433}}{18}$$

Egin ken \frac{5}{18} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=\frac{5\sqrt{433}-5}{18} x=\frac{-5\sqrt{433}-5}{18}$$