Resolver 2/x^2-1-4/x^2-3x+2=1/3x^2+6x+3

$$\frac { 2 } { x ^ { 2 } - 1 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 } = \frac { 1 } { 3 x ^ { 2 } + 6 x + 3 }$$

Ebatzi: x

$$x = -\frac{13}{7} = -1\frac{6}{7} \approx -1.857142857$$

$$x=-2$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta -1,1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2} balioarekin (x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-2 biderkatzeko.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x-6 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x^{2}-3x-6 eta 2 biderkatzeko.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12 lortzeko, biderkatu 3 eta 4.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 12 eta x^{2}+2x+1 biderkatzeko.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12x^{2}+24x+12 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-6x^{2} lortzeko, konbinatu 6x^{2} eta -12x^{2}.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-30x lortzeko, konbinatu -6x eta -24x.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-24 lortzeko, -12 balioari kendu 12.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

-7x^{2} lortzeko, konbinatu -6x^{2} eta -x^{2}.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

Gehitu 3x bi aldeetan.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

-27x lortzeko, konbinatu -30x eta 3x.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$-7x^{2}-27x-24-2=0$$

-26 lortzeko, -24 balioari kendu 2.

$$-7x^{2}-27x-26=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -7x^{2}+ax+bx-26 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-27 ab=-7\left(-26\right)=182$$

ab positiboa denez, a eta b balioek zeinu bera dute. a+b negatiboa denez, a eta b negatiboak dira. Zerrendatu 182 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$-1,-182 -2,-91 -7,-26 -13,-14$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$-1-182=-183 -2-91=-93 -7-26=-33 -13-14=-27$$

-27 batura duen parea da soluzioa.

$$a=-13 b=-14$$

Berridatzi -7x^{2}-27x-26 honela: \left(-7x^{2}-13x\right)+\left(-14x-26\right).

$$\left(-7x^{2}-13x\right)+\left(-14x-26\right)$$

Deskonposatu -x lehen taldean, eta -2 bigarren taldean.

$$-x\left(7x+13\right)-2\left(7x+13\right)$$

Deskonposatu 7x+13 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(7x+13\right)\left(-x-2\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi 7x+13=0 eta -x-2=0.

$$x=-\frac{13}{7} x=-2$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta -1,1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2} balioarekin (x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-2 biderkatzeko.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x-6 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x^{2}-3x-6 eta 2 biderkatzeko.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12 lortzeko, biderkatu 3 eta 4.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 12 eta x^{2}+2x+1 biderkatzeko.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12x^{2}+24x+12 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-6x^{2} lortzeko, konbinatu 6x^{2} eta -12x^{2}.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-30x lortzeko, konbinatu -6x eta -24x.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-24 lortzeko, -12 balioari kendu 12.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

-7x^{2} lortzeko, konbinatu -6x^{2} eta -x^{2}.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

Gehitu 3x bi aldeetan.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

-27x lortzeko, konbinatu -30x eta 3x.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

Kendu 2 bi aldeetatik.

$$-7x^{2}-27x-24-2=0$$

-26 lortzeko, -24 balioari kendu 2.

$$-7x^{2}-27x-26=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -7 balioa a balioarekin, -27 balioa b balioarekin, eta -26 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{\left(-27\right)^{2}-4\left(-7\right)\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Egin -27 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-4\left(-7\right)\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Egin -4 bider -7.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729+28\left(-26\right)}}{2\left(-7\right)}$$

Egin 28 bider -26.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{729-728}}{2\left(-7\right)}$$

Gehitu 729 eta -728.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±\sqrt{1}}{2\left(-7\right)}$$

Atera 1 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-27\right)±1}{2\left(-7\right)}$$

-27 zenbakiaren aurkakoa 27 da.

$$x=\frac{27±1}{2\left(-7\right)}$$

Egin 2 bider -7.

$$x=\frac{27±1}{-14}$$

Orain, ebatzi x=\frac{27±1}{-14} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 27 eta 1.

$$x=\frac{28}{-14}$$

Zatitu 28 balioa -14 balioarekin.

$$x=-2$$

Orain, ebatzi x=\frac{27±1}{-14} ekuazioa ± minus denean. Egin 1 ken 27.

$$x=\frac{26}{-14}$$

Murriztu \frac{26}{-14} zatikia gai txikienera, 2 bakanduta eta ezeztatuta.

$$x=-\frac{13}{7}$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-2 x=-\frac{13}{7}$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta -1,1,2 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak 3\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)^{2} balioarekin (x^{2}-1,x^{2}-3x+2,3x^{2}+6x+3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$3\left(x-2\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3 eta x-2 biderkatzeko.

$$\left(3x-6\right)\left(x+1\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x-6 eta x+1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$\left(3x^{2}-3x-6\right)\times 2-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 3x^{2}-3x-6 eta 2 biderkatzeko.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x+1\right)^{2}\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

\left(x+1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$6x^{2}-6x-12-3\left(x^{2}+2x+1\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12 lortzeko, biderkatu 3 eta 4.

$$6x^{2}-6x-12-12\left(x^{2}+2x+1\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 12 eta x^{2}+2x+1 biderkatzeko.

$$6x^{2}-6x-12-\left(12x^{2}+24x+12\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

12x^{2}+24x+12 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$6x^{2}-6x-12-12x^{2}-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-6x^{2} lortzeko, konbinatu 6x^{2} eta -12x^{2}.

$$-6x^{2}-6x-12-24x-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-30x lortzeko, konbinatu -6x eta -24x.

$$-6x^{2}-30x-12-12=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

-24 lortzeko, -12 balioari kendu 12.

$$-6x^{2}-30x-24=\left(x-2\right)\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-2 eta x-1 biderkatzeko eta antzeko gaiak bateratzeko.

$$-6x^{2}-30x-24=x^{2}-3x+2$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$-6x^{2}-30x-24-x^{2}=-3x+2$$

-7x^{2} lortzeko, konbinatu -6x^{2} eta -x^{2}.

$$-7x^{2}-30x-24=-3x+2$$

Gehitu 3x bi aldeetan.

$$-7x^{2}-30x-24+3x=2$$

-27x lortzeko, konbinatu -30x eta 3x.

$$-7x^{2}-27x-24=2$$

Gehitu 24 bi aldeetan.

$$-7x^{2}-27x=2+24$$

26 lortzeko, gehitu 2 eta 24.

$$-7x^{2}-27x=26$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -7 balioarekin.

$$\frac{-7x^{2}-27x}{-7}=\frac{26}{-7}$$

-7 balioarekin zatituz gero, -7 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{27}{-7}\right)x=\frac{26}{-7}$$

Zatitu -27 balioa -7 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=\frac{26}{-7}$$

Zatitu 26 balioa -7 balioarekin.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x=-\frac{26}{7}$$

Zatitu \frac{27}{7} (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{27}{14} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{27}{14} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}=-\frac{26}{7}+\left(\frac{27}{14}\right)^{2}$$

Egin \frac{27}{14} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=-\frac{26}{7}+\frac{729}{196}$$

Gehitu -\frac{26}{7} eta \frac{729}{196} izendatzaile komun bat aurkituz eta zenbakitzaileak gehituz. Gero, ahal dela, sinplifikatu frakzioa, ahalik eta gai gutxien izan ditzan.

$$x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196}=\frac{1}{196}$$

Atera x^{2}+\frac{27}{7}x+\frac{729}{196} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}=\frac{1}{196}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{27}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{196}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{27}{14}=\frac{1}{14} x+\frac{27}{14}=-\frac{1}{14}$$

Egin ken \frac{27}{14} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=-\frac{13}{7} x=-2$$