Resolver 140/x-1-144/x=2

$$\frac { 140 } { x - 1 } - \frac { 144 } { x } = 2$$

Ebatzi: x

$$x=-9$$

$$x=8$$

Faktorizazioa darabilten urratsak, taldekatzearen arabera

x aldagaia eta 0,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x-1\right) balioarekin (x-1,x balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 144 biderkatzeko.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

144x-144 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

-4x lortzeko, konbinatu x\times 140 eta -144x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x eta x-1 biderkatzeko.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Gehitu 2x bi aldeetan.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

-2x lortzeko, konbinatu -4x eta 2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 2 balioarekin.

$$-x+72-x^{2}=0$$

Berrantolatu polinomioa, ohiko eran jartzeko. Ordenatu gaiak berretura handienetik txikienera.

$$-x^{2}-x+72=0$$

Ekuazioa ebazteko, faktorizatu ezkerraldea taldekatzearen bidez. Lehenik, -x^{2}+ax+bx+72 gisa idatzi behar da ezkerraldea. a eta b aurkitzeko, ezarri ebatzi beharreko sistema.

$$a+b=-1 ab=-72=-72$$

ab negatiboa denez, a eta b balioek kontrako zeinuak dituzte. a+b negatiboa denez, zenbaki negatiboak positiboak baino balio absolutu handiagoa du. Zerrendatu -72 biderkadura duten osokoen pare guztiak.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Kalkulatu pare bakoitzaren batura.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

-1 batura duen parea da soluzioa.

$$a=8 b=-9$$

Berridatzi -x^{2}-x+72 honela: \left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(-9x+72\right)$$

Deskonposatu x lehen taldean, eta 9 bigarren taldean.

$$x\left(-x+8\right)+9\left(-x+8\right)$$

Deskonposatu -x+8 gai arrunta banaketa-propietatea erabiliz.

$$\left(-x+8\right)\left(x+9\right)$$

Ekuazioaren soluzioak aurkitzeko, ebatzi -x+8=0 eta x+9=0.

$$x=8 x=-9$$

Formula koadratikoaren bidezko ebazpidea

x aldagaia eta 0,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x-1\right) balioarekin (x-1,x balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 144 biderkatzeko.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

144x-144 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

-4x lortzeko, konbinatu x\times 140 eta -144x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x eta x-1 biderkatzeko.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Gehitu 2x bi aldeetan.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

-2x lortzeko, konbinatu -4x eta 2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Formula koadratikoa erabiliz ebatz daitezke ax^{2}+bx+c=0 bezalako ekuazio guztiak: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Bi emaitza ditu formula koadratikoak: bata ± batuketa denean, eta bestea kenketa denean.

$$-2x^{2}-2x+144=0$$

Estandarra da ekuazioaren forma: ax^{2}+bx+c=0. Ordeztu -2 balioa a balioarekin, -2 balioa b balioarekin, eta 144 balioa c balioarekin formula koadratikoan (\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}).

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -2 ber bi.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Egin -4 bider -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8\times 144}}{2\left(-2\right)}$$

Egin 8 bider 144.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+1152}}{2\left(-2\right)}$$

Gehitu 4 eta 1152.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{1156}}{2\left(-2\right)}$$

Atera 1156 balioaren erro karratua.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±34}{2\left(-2\right)}$$

-2 zenbakiaren aurkakoa 2 da.

$$x=\frac{2±34}{2\left(-2\right)}$$

Egin 2 bider -2.

$$x=\frac{2±34}{-4}$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±34}{-4} ekuazioa ± plus denean. Gehitu 2 eta 34.

$$x=\frac{36}{-4}$$

Zatitu 36 balioa -4 balioarekin.

$$x=-9$$

Orain, ebatzi x=\frac{2±34}{-4} ekuazioa ± minus denean. Egin 34 ken 2.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Zatitu -32 balioa -4 balioarekin.

$$x=8$$

Ebatzi da ekuazioa.

$$x=-9 x=8$$

Karratua osatzeko urratsak

x aldagaia eta 0,1 balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak x\left(x-1\right) balioarekin (x-1,x balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$x\times 140-\left(x-1\right)\times 144=2x\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea x-1 eta 144 biderkatzeko.

$$x\times 140-\left(144x-144\right)=2x\left(x-1\right)$$

144x-144 funtzioaren aurkakoa aurkitzeko, bilatu gai bakoitzaren aurkakoa.

$$x\times 140-144x+144=2x\left(x-1\right)$$

-4x lortzeko, konbinatu x\times 140 eta -144x.

$$-4x+144=2x\left(x-1\right)$$

Erabili banaketa-propietatea 2x eta x-1 biderkatzeko.

$$-4x+144=2x^{2}-2x$$

Kendu 2x^{2} bi aldeetatik.

$$-4x+144-2x^{2}=-2x$$

Gehitu 2x bi aldeetan.

$$-4x+144-2x^{2}+2x=0$$

-2x lortzeko, konbinatu -4x eta 2x.

$$-2x+144-2x^{2}=0$$

Kendu 144 bi aldeetatik. Zero ken edozein zenbaki zenbaki horren negatiboa da.

$$-2x-2x^{2}=-144$$

Honelako ekuazio koadratikoak karratua osatuta ebazten dira. Hori egiteko, ekuazioak x^{2}+bx=c egitura izan behar du.

$$-2x^{2}-2x=-144$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak -2 balioarekin.

$$\frac{-2x^{2}-2x}{-2}=-\frac{144}{-2}$$

-2 balioarekin zatituz gero, -2 balioarekiko biderketa desegiten da.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{-2}\right)x=-\frac{144}{-2}$$

Zatitu -2 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}+x=-\frac{144}{-2}$$

Zatitu -144 balioa -2 balioarekin.

$$x^{2}+x=72$$

Zatitu 1 (x gaiaren koefizientea) 2 balioarekin, eta \frac{1}{2} lortuko duzu. Ondoren, gehitu \frac{1}{2} balioaren karratua ekuazioaren bi aldeetan. Horrela, ekuazioaren ezkerreko zatia karratu perfektua izango da.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=72+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Egin \frac{1}{2} ber bi, frakzioaren zenbakitzailea eta izendatzailea ber bi eginez.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=72+\frac{1}{4}$$

Gehitu 72 eta \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{289}{4}$$

Atera x^{2}+x+\frac{1}{4} balioaren biderkagaiak. Orokorrean, x^{2}+bx+c karratu perfektua bada, \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} gisa ateratzen dira biderkagaiak.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Atera ekuazioaren bi aldeen erro karratua.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Sinplifikatu.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{17}{2}$$

Egin ken \frac{1}{2} ekuazioaren bi aldeetan.

$$x=8 x=-9$$