Resolver (3k+1)x^2+3k-1/(3k+1)(3k^2+8k-3)+x/9k^2-1=1/3k^2+10k+3

$$\frac { ( 3 k + 1 ) x ^ { 2 } + 3 k - 1 } { ( 3 k + 1 ) ( 3 k ^ { 2 } + 8 k - 3 ) } + \frac { x } { 9 k ^ { 2 } - 1 } = \frac { 1 } { 3 k ^ { 2 } + 10 k + 3 }$$

Ebatzi: k (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}k=-\frac{x+3}{3x+1}\text{, }&x\neq -\frac{1}{3}\text{ and }x\neq 0\text{ and }x\neq -\frac{5}{3}\\k\in \mathrm{C}\setminus -\frac{1}{3},-3,\frac{1}{3}\text{, }&x=0\end{matrix}\right.$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

k aldagaia eta -3,-\frac{1}{3},\frac{1}{3} balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(3k-1\right)\left(k+3\right)\left(3k+1\right) balioarekin (\left(3k+1\right)\left(3k^{2}+8k-3\right),9k^{2}-1,3k^{2}+10k+3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(3k+1\right)x^{2}+3k-1+\left(k+3\right)x=3k-1$$

Erabili banaketa-propietatea 3k+1 eta x^{2} biderkatzeko.

$$3kx^{2}+x^{2}+3k-1+\left(k+3\right)x=3k-1$$

Erabili banaketa-propietatea k+3 eta x biderkatzeko.

$$3kx^{2}+x^{2}+3k-1+kx+3x=3k-1$$

Kendu 3k bi aldeetatik.

$$3kx^{2}+x^{2}+3k-1+kx+3x-3k=-1$$

0 lortzeko, konbinatu 3k eta -3k.

$$3kx^{2}+x^{2}-1+kx+3x=-1$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$3kx^{2}-1+kx+3x=-1-x^{2}$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$3kx^{2}+kx+3x=-1-x^{2}+1$$

0 lortzeko, gehitu -1 eta 1.

$$3kx^{2}+kx+3x=-x^{2}$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$3kx^{2}+kx=-x^{2}-3x$$

Konbinatu k duten gai guztiak.

$$\left(3x^{2}+x\right)k=-x^{2}-3x$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3x^{2}+x balioarekin.

$$\frac{\left(3x^{2}+x\right)k}{3x^{2}+x}=-\frac{x\left(x+3\right)}{3x^{2}+x}$$

3x^{2}+x balioarekin zatituz gero, 3x^{2}+x balioarekiko biderketa desegiten da.

$$k=-\frac{x\left(x+3\right)}{3x^{2}+x}$$

Zatitu -x\left(3+x\right) balioa 3x^{2}+x balioarekin.

$$k=-\frac{x+3}{3x+1}$$

k aldagaia ezin da etorri bat balio hauetako batekin: -\frac{1}{3},-3,\frac{1}{3}.

$$k=-\frac{x+3}{3x+1}\text{, }k\neq -\frac{1}{3}\text{ and }k\neq -3\text{ and }k\neq \frac{1}{3}$$

Ebatzi: k

$$\left\{\begin{matrix}k=-\frac{x+3}{3x+1}\text{, }&x\neq -\frac{1}{3}\text{ and }x\neq -\frac{5}{3}\text{ and }x\neq 0\\k\in \mathrm{R}\setminus -\frac{1}{3},\frac{1}{3},-3\text{, }&x=0\end{matrix}\right.$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

k aldagaia eta -3,-\frac{1}{3},\frac{1}{3} balioak ezin dira izan berdinak, zerorekin zatitzea ez dagoelako definituta. Biderkatu ekuazioaren bi aldeak \left(3k-1\right)\left(k+3\right)\left(3k+1\right) balioarekin (\left(3k+1\right)\left(3k^{2}+8k-3\right),9k^{2}-1,3k^{2}+10k+3 balioaren multiplo komunetan txikiena).

$$\left(3k+1\right)x^{2}+3k-1+\left(k+3\right)x=3k-1$$

Erabili banaketa-propietatea 3k+1 eta x^{2} biderkatzeko.

$$3kx^{2}+x^{2}+3k-1+\left(k+3\right)x=3k-1$$

Erabili banaketa-propietatea k+3 eta x biderkatzeko.

$$3kx^{2}+x^{2}+3k-1+kx+3x=3k-1$$

Kendu 3k bi aldeetatik.

$$3kx^{2}+x^{2}+3k-1+kx+3x-3k=-1$$

0 lortzeko, konbinatu 3k eta -3k.

$$3kx^{2}+x^{2}-1+kx+3x=-1$$

Kendu x^{2} bi aldeetatik.

$$3kx^{2}-1+kx+3x=-1-x^{2}$$

Gehitu 1 bi aldeetan.

$$3kx^{2}+kx+3x=-1-x^{2}+1$$

0 lortzeko, gehitu -1 eta 1.

$$3kx^{2}+kx+3x=-x^{2}$$

Kendu 3x bi aldeetatik.

$$3kx^{2}+kx=-x^{2}-3x$$

Konbinatu k duten gai guztiak.

$$\left(3x^{2}+x\right)k=-x^{2}-3x$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak 3x^{2}+x balioarekin.

$$\frac{\left(3x^{2}+x\right)k}{3x^{2}+x}=-\frac{x\left(x+3\right)}{3x^{2}+x}$$

3x^{2}+x balioarekin zatituz gero, 3x^{2}+x balioarekiko biderketa desegiten da.

$$k=-\frac{x\left(x+3\right)}{3x^{2}+x}$$

Zatitu -x\left(3+x\right) balioa 3x^{2}+x balioarekin.

$$k=-\frac{x+3}{3x+1}$$

k aldagaia ezin da etorri bat balio hauetako batekin: -\frac{1}{3},-3,\frac{1}{3}.

$$k=-\frac{x+3}{3x+1}\text{, }k\neq -\frac{1}{3}\text{ and }k\neq -3\text{ and }k\neq \frac{1}{3}$$

Ebatzi: x (complex solution)

$$x=-\frac{k+3}{3k+1}$$

$$x=0\text{, }k\neq -\frac{1}{3}\text{ and }k\neq -3\text{ and }k\neq \frac{1}{3}$$

Ebatzi: x

$$x=-\frac{k+3}{3k+1}$$

$$x=0\text{, }k\neq -3\text{ and }|k|\neq \frac{1}{3}$$