Resolver frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Ebatzi: b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Ekuazio lineala ebazteko urratsak

Adierazi \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} balioaren izendatzailea zenbaki arrazional gisa. Horretarako, egin zenbakitzailea eta izendatzailea bider \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Kasurako: \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Biderketa karratuen desberdintasun bihur daiteke arau hau erabilita: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Egin \sqrt{3} ber bi. Egin 1 ber bi.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

2 lortzeko, 3 balioari kendu 1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

\left(\sqrt{3}-1\right)^{2} lortzeko, biderkatu \sqrt{3}-1 eta \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

\left(\sqrt{3}-1\right)^{2} zabaltzeko, erabili Newton-en binomioa \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

\sqrt{3} zenbakiaren karratua 3 da.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

4 lortzeko, gehitu 3 eta 1.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Zatitu 4-2\sqrt{3} ekuazioko gai bakoitza 2 balioarekin, 2-\sqrt{3} lortzeko.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Trukatu aldeak, aldagaiak ezkerraldean egon daitezen.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Kendu a bi aldeetatik.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Modu arruntean dago ekuazioa.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Zatitu ekuazioaren bi aldeak \sqrt{3} balioarekin.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

\sqrt{3} balioarekin zatituz gero, \sqrt{3} balioarekiko biderketa desegiten da.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Zatitu -\sqrt{3}-a+2 balioa \sqrt{3} balioarekin.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Ebatzi: a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$