Lahenda 9x^2+7x+9=25

$$9 x ^ { 2 } + 7 x + 9 = 25$$

Lahendage ja leidke x

$$x = -\frac{16}{9} = -1\frac{7}{9} \approx -1,777777778$$

$$x=1$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Lahutage mõlemast poolest 25.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Lahutage 25 väärtusest 9, et leida -16.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 9x^{2}+ax+bx-16. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=7 ab=9\left(-16\right)=-144$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on positiivne, on positiivne arv suurem kui negatiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -144.

$$-1,144 -2,72 -3,48 -4,36 -6,24 -8,18 -9,16 -12,12$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1+144=143 -2+72=70 -3+48=45 -4+36=32 -6+24=18 -8+18=10 -9+16=7 -12+12=0$$

Lahendus on paar, mis annab summa 7.

$$a=-9 b=16$$

Kirjutage9x^{2}+7x-16 ümber kujul \left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right).

$$\left(9x^{2}-9x\right)+\left(16x-16\right)$$

Lahutage 9x esimesel ja 16 teise rühma.

$$9x\left(x-1\right)+16\left(x-1\right)$$

Tooge liige x-1 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(x-1\right)\left(9x+16\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-1=0 ja 9x+16=0.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 25.

$$9x^{2}+7x+9-25=25-25$$

25 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$9x^{2}+7x+9-25=0$$

Lahutage 25 väärtusest 9.

$$9x^{2}+7x-16=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 9, b väärtusega 7 ja c väärtusega -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Tõstke 7 ruutu.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 9\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -4 ja 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-36\left(-16\right)}}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel -36 ja -16.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+576}}{2\times 9}$$

Liitke 49 ja 576.

$$x=\frac{-7±\sqrt{625}}{2\times 9}$$

Leidke 625 ruutjuur.

$$x=\frac{-7±25}{2\times 9}$$

Korrutage omavahel 2 ja 9.

$$x=\frac{-7±25}{18}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-7±25}{18}, kui ± on pluss. Liitke -7 ja 25.

$$x=\frac{18}{18}$$

Jagage 18 väärtusega 18.

$$x=1$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-7±25}{18}, kui ± on miinus. Lahutage 25 väärtusest -7.

$$x=-\frac{32}{18}$$

Taandage murd \frac{-32}{18} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x=-\frac{16}{9}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}+7x+9=25$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 9.

$$9x^{2}+7x+9-9=25-9$$

9 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$9x^{2}+7x=25-9$$

Lahutage 9 väärtusest 25.

$$9x^{2}+7x=16$$

Jagage mõlemad pooled 9-ga.

$$\frac{9x^{2}+7x}{9}=\frac{16}{9}$$

9-ga jagamine võtab 9-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x=\frac{16}{9}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{7}{9} 2-ga, et leida \frac{7}{18}. Seejärel liitke \frac{7}{18} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{16}{9}+\left(\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{7}{18} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{16}{9}+\frac{49}{324}$$

Liitke \frac{16}{9} ja \frac{49}{324}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}=\frac{625}{324}$$

Lahutage x^{2}+\frac{7}{9}x+\frac{49}{324}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{625}{324}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{324}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{7}{18}=\frac{25}{18} x+\frac{7}{18}=-\frac{25}{18}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{7}{18}.

$$x=1 x=-\frac{16}{9}$$