Lahenda 7+4x+5x^2=0

$$7+4x+5 { x }^{ 2 } = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}\approx -0,4+1,113552873i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}\approx -0,4-1,113552873i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 5, b väärtusega 4 ja c väärtusega 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Tõstke 4 ruutu.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel -4 ja 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 7}}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel -20 ja 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-140}}{2\times 5}$$

Liitke 16 ja -140.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-124}}{2\times 5}$$

Leidke -124 ruutjuur.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel 2 ja 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}, kui ± on pluss. Liitke -4 ja 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{31}i}{10}$$

Jagage -4+2i\sqrt{31} väärtusega 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}, kui ± on miinus. Lahutage 2i\sqrt{31} väärtusest -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-4}{10}$$

Jagage -4-2i\sqrt{31} väärtusega 10.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 7.

$$5x^{2}+4x+7-7=-7$$

7 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$5x^{2}+4x=-7$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{7}{5}$$

5-ga jagamine võtab 5-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{4}{5} 2-ga, et leida \frac{2}{5}. Seejärel liitke \frac{2}{5} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{2}{5} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{4}{25}$$

Liitke -\frac{7}{5} ja \frac{4}{25}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{31}{25}$$

Lahutage x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{31}{25}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{25}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{31}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{31}i}{5}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{2}{5}.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$