Lahenda 7x^2+5x-78=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x - 78 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x = -\frac{26}{7} = -3\frac{5}{7} \approx -3,714285714$$

$$x=3$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 7x^{2}+ax+bx-78. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=5 ab=7\left(-78\right)=-546$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on positiivne, on positiivne arv suurem kui negatiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -546.

$$-1,546 -2,273 -3,182 -6,91 -7,78 -13,42 -14,39 -21,26$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1+546=545 -2+273=271 -3+182=179 -6+91=85 -7+78=71 -13+42=29 -14+39=25 -21+26=5$$

Lahendus on paar, mis annab summa 5.

$$a=-21 b=26$$

Kirjutage7x^{2}+5x-78 ümber kujul \left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right).

$$\left(7x^{2}-21x\right)+\left(26x-78\right)$$

Lahutage 7x esimesel ja 26 teise rühma.

$$7x\left(x-3\right)+26\left(x-3\right)$$

Tooge liige x-3 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(x-3\right)\left(7x+26\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-3=0 ja 7x+26=0.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 7, b väärtusega 5 ja c väärtusega -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Tõstke 5 ruutu.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Korrutage omavahel -4 ja 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\left(-78\right)}}{2\times 7}$$

Korrutage omavahel -28 ja -78.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+2184}}{2\times 7}$$

Liitke 25 ja 2184.

$$x=\frac{-5±\sqrt{2209}}{2\times 7}$$

Leidke 2209 ruutjuur.

$$x=\frac{-5±47}{2\times 7}$$

Korrutage omavahel 2 ja 7.

$$x=\frac{-5±47}{14}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-5±47}{14}, kui ± on pluss. Liitke -5 ja 47.

$$x=\frac{42}{14}$$

Jagage 42 väärtusega 14.

$$x=3$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-5±47}{14}, kui ± on miinus. Lahutage 47 väärtusest -5.

$$x=-\frac{52}{14}$$

Taandage murd \frac{-52}{14} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x=-\frac{26}{7}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x-78=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 78.

$$7x^{2}+5x-78-\left(-78\right)=-\left(-78\right)$$

-78 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$7x^{2}+5x=-\left(-78\right)$$

Lahutage -78 väärtusest 0.

$$7x^{2}+5x=78$$

Jagage mõlemad pooled 7-ga.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=\frac{78}{7}$$

7-ga jagamine võtab 7-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=\frac{78}{7}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{5}{7} 2-ga, et leida \frac{5}{14}. Seejärel liitke \frac{5}{14} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{78}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{5}{14} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{78}{7}+\frac{25}{196}$$

Liitke \frac{78}{7} ja \frac{25}{196}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=\frac{2209}{196}$$

Lahutage x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=\frac{2209}{196}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{196}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{47}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{47}{14}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{5}{14}.

$$x=3 x=-\frac{26}{7}$$