Lahenda 5x^2+7x+19=0

$$5 x ^ { 2 } + 7 x + 19 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10}\approx -0,7+1,81934054i$$

$$x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}\approx -0,7-1,81934054i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$5x^{2}+7x+19=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 5, b väärtusega 7 ja c väärtusega 19.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

Tõstke 7 ruutu.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 5\times 19}}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel -4 ja 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-20\times 19}}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel -20 ja 19.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-380}}{2\times 5}$$

Liitke 49 ja -380.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-331}}{2\times 5}$$

Leidke -331 ruutjuur.

$$x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{2\times 5}$$

Korrutage omavahel 2 ja 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10}, kui ± on pluss. Liitke -7 ja i\sqrt{331}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-7±\sqrt{331}i}{10}, kui ± on miinus. Lahutage i\sqrt{331} väärtusest -7.

$$x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10} x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+7x+19=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 19.

$$5x^{2}+7x+19-19=-19$$

19 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$5x^{2}+7x=-19$$

Jagage mõlemad pooled 5-ga.

$$\frac{5x^{2}+7x}{5}=-\frac{19}{5}$$

5-ga jagamine võtab 5-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x=-\frac{19}{5}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{7}{5} 2-ga, et leida \frac{7}{10}. Seejärel liitke \frac{7}{10} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{19}{5}+\left(\frac{7}{10}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{7}{10} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{19}{5}+\frac{49}{100}$$

Liitke -\frac{19}{5} ja \frac{49}{100}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{331}{100}$$

Lahutage x^{2}+\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{331}{100}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{331}{100}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{331}i}{10} x+\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{331}i}{10}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{7}{10}.

$$x=\frac{-7+\sqrt{331}i}{10} x=\frac{-\sqrt{331}i-7}{10}$$