Lahenda 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1,42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0,17539053$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega -5 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Tõstke -5 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Liitke 25 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Arvu -5 vastand on 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}, kui ± on pluss. Liitke 5 ja \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}, kui ± on miinus. Lahutage \sqrt{41} väärtusest 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 1.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Lahutage -1 väärtusest 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{5}{4} 2-ga, et leida -\frac{5}{8}. Seejärel liitke -\frac{5}{8} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{5}{8} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Liitke \frac{1}{4} ja \frac{25}{64}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Lahutage x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{5}{8}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$