Lahenda 4x^2+6x+10=0

$$4 x ^ { 2 } + 6 x + 10 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}\approx -0,75+1,391941091i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}\approx -0,75-1,391941091i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega 6 ja c väärtusega 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Tõstke 6 ruutu.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-16\times 10}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja 10.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-160}}{2\times 4}$$

Liitke 36 ja -160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{-124}}{2\times 4}$$

Leidke -124 ruutjuur.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}, kui ± on pluss. Liitke -6 ja 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-6+2\sqrt{31}i}{8}$$

Jagage -6+2i\sqrt{31} väärtusega 8.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-6±2\sqrt{31}i}{8}, kui ± on miinus. Lahutage 2i\sqrt{31} väärtusest -6.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-6}{8}$$

Jagage -6-2i\sqrt{31} väärtusega 8.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+6x+10=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 10.

$$4x^{2}+6x+10-10=-10$$

10 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}+6x=-10$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}+6x}{4}=-\frac{10}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{6}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Taandage murd \frac{6}{4} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{10}{4}$$

Taandage murd \frac{-10}{4} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Jagage liikme x kordaja \frac{3}{2} 2-ga, et leida \frac{3}{4}. Seejärel liitke \frac{3}{4} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{3}{4} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Liitke -\frac{5}{2} ja \frac{9}{16}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{31}{16}$$

Lahutage x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{31}{16}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{16}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{31}i}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{31}i}{4}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{3}{4}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{31}i}{4} x=\frac{-\sqrt{31}i-3}{4}$$