Lahenda 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3,5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3,5-i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 4, b väärtusega 28 ja c väärtusega 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Tõstke 28 ruutu.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -4 ja 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel -16 ja 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Liitke 784 ja -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Leidke -64 ruutjuur.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Korrutage omavahel 2 ja 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-28±8i}{8}, kui ± on pluss. Liitke -28 ja 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Jagage -28+8i väärtusega 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-28±8i}{8}, kui ± on miinus. Lahutage 8i väärtusest -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Jagage -28-8i väärtusega 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 53.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

53 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Jagage mõlemad pooled 4-ga.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

4-ga jagamine võtab 4-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Jagage 28 väärtusega 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Jagage liikme x kordaja 7 2-ga, et leida \frac{7}{2}. Seejärel liitke \frac{7}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{7}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Liitke -\frac{53}{4} ja \frac{49}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Lahutage x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{7}{2}.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$