Lahenda 3x^2-7x+5=0

$$3 x ^ { 2 } - 7 x + 5 = 0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}\approx 1,166666667+0,552770798i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}\approx 1,166666667-0,552770798i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 3, b väärtusega -7 ja c väärtusega 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Tõstke -7 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -4 ja 3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-12\times 5}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -12 ja 5.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-60}}{2\times 3}$$

Liitke 49 ja -60.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{-11}}{2\times 3}$$

Leidke -11 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Arvu -7 vastand on 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel 2 ja 3.

$$x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}, kui ± on pluss. Liitke 7 ja i\sqrt{11}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{7±\sqrt{11}i}{6}, kui ± on miinus. Lahutage i\sqrt{11} väärtusest 7.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-7x+5=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 5.

$$3x^{2}-7x+5-5=-5$$

5 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$3x^{2}-7x=-5$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$\frac{3x^{2}-7x}{3}=-\frac{5}{3}$$

3-ga jagamine võtab 3-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{7}{3} 2-ga, et leida -\frac{7}{6}. Seejärel liitke -\frac{7}{6} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{7}{6} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{5}{3}+\frac{49}{36}$$

Liitke -\frac{5}{3} ja \frac{49}{36}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=-\frac{11}{36}$$

Lahutage x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=-\frac{11}{36}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{36}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{11}i}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{11}i}{6}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{7}{6}.

$$x=\frac{7+\sqrt{11}i}{6} x=\frac{-\sqrt{11}i+7}{6}$$