Lahenda 3x^2+5x+9=0

$$3 { x }^{ 2 } +5x+9=0$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}\approx -0,833333333+1,518405597i$$

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}\approx -0,833333333-1,518405597i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 3, b väärtusega 5 ja c väärtusega 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Tõstke 5 ruutu.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -4 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 9}}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel -12 ja 9.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-108}}{2\times 3}$$

Liitke 25 ja -108.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-83}}{2\times 3}$$

Leidke -83 ruutjuur.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{2\times 3}$$

Korrutage omavahel 2 ja 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}, kui ± on pluss. Liitke -5 ja i\sqrt{83}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{-5±\sqrt{83}i}{6}, kui ± on miinus. Lahutage i\sqrt{83} väärtusest -5.

$$x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x+9=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 9.

$$3x^{2}+5x+9-9=-9$$

9 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$3x^{2}+5x=-9$$

Jagage mõlemad pooled 3-ga.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{9}{3}$$

3-ga jagamine võtab 3-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Jagage -9 väärtusega 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-3$$

Jagage liikme x kordaja \frac{5}{3} 2-ga, et leida \frac{5}{6}. Seejärel liitke \frac{5}{6} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{5}{6} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-3+\frac{25}{36}$$

Liitke -3 ja \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{83}{36}$$

Lahutage x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{83}{36}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{83}{36}}$$

Lihtsustage.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{83}i}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{83}i}{6}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{5}{6}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{83}i}{6} x=\frac{-\sqrt{83}i-5}{6}$$