Lahenda 24x^2-65x+21=0

$$24 x ^ { 2 } - 65 x + 21 = 0$$

Lahendage ja leidke x

$$x=\frac{3}{8}=0,375$$

$$x = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 24x^{2}+ax+bx+21. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-65 ab=24\times 21=504$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks 504.

$$-1,-504 -2,-252 -3,-168 -4,-126 -6,-84 -7,-72 -8,-63 -9,-56 -12,-42 -14,-36 -18,-28 -21,-24$$

Arvutage iga paari summa.

$$-1-504=-505 -2-252=-254 -3-168=-171 -4-126=-130 -6-84=-90 -7-72=-79 -8-63=-71 -9-56=-65 -12-42=-54 -14-36=-50 -18-28=-46 -21-24=-45$$

Lahendus on paar, mis annab summa -65.

$$a=-56 b=-9$$

Kirjutage24x^{2}-65x+21 ümber kujul \left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right).

$$\left(24x^{2}-56x\right)+\left(-9x+21\right)$$

Lahutage 8x esimesel ja -3 teise rühma.

$$8x\left(3x-7\right)-3\left(3x-7\right)$$

Tooge liige 3x-7 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(3x-7\right)\left(8x-3\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage 3x-7=0 ja 8x-3=0.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 24, b väärtusega -65 ja c väärtusega 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{\left(-65\right)^{2}-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Tõstke -65 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-4\times 24\times 21}}{2\times 24}$$

Korrutage omavahel -4 ja 24.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-96\times 21}}{2\times 24}$$

Korrutage omavahel -96 ja 21.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{4225-2016}}{2\times 24}$$

Liitke 4225 ja -2016.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±\sqrt{2209}}{2\times 24}$$

Leidke 2209 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-65\right)±47}{2\times 24}$$

Arvu -65 vastand on 65.

$$x=\frac{65±47}{2\times 24}$$

Korrutage omavahel 2 ja 24.

$$x=\frac{65±47}{48}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{65±47}{48}, kui ± on pluss. Liitke 65 ja 47.

$$x=\frac{112}{48}$$

Taandage murd \frac{112}{48} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 16.

$$x=\frac{7}{3}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{65±47}{48}, kui ± on miinus. Lahutage 47 väärtusest 65.

$$x=\frac{18}{48}$$

Taandage murd \frac{18}{48} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 6.

$$x=\frac{3}{8}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-65x+21=0$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 21.

$$24x^{2}-65x+21-21=-21$$

21 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$24x^{2}-65x=-21$$

Jagage mõlemad pooled 24-ga.

$$\frac{24x^{2}-65x}{24}=-\frac{21}{24}$$

24-ga jagamine võtab 24-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{21}{24}$$

Taandage murd \frac{-21}{24} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 3.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x=-\frac{7}{8}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{65}{24} 2-ga, et leida -\frac{65}{48}. Seejärel liitke -\frac{65}{48} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{65}{48}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{65}{48} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=-\frac{7}{8}+\frac{4225}{2304}$$

Liitke -\frac{7}{8} ja \frac{4225}{2304}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}=\frac{2209}{2304}$$

Lahutage x^{2}-\frac{65}{24}x+\frac{4225}{2304}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}=\frac{2209}{2304}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{65}{48}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{2304}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{65}{48}=\frac{47}{48} x-\frac{65}{48}=-\frac{47}{48}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{65}{48}.

$$x=\frac{7}{3} x=\frac{3}{8}$$