Lahenda 2y^2+2y-1=0

$$2 y ^ { 2 } + 2 y - 1 = 0$$

Lahendage ja leidke y

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}\approx 0,366025404$$

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}\approx -1,366025404$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 2, b väärtusega 2 ja c väärtusega -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Tõstke 2 ruutu.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -4 ja 2.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4-8\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -8 ja -1.

$$y=\frac{-2±\sqrt{4+8}}{2\times 2}$$

Liitke 4 ja 8.

$$y=\frac{-2±\sqrt{12}}{2\times 2}$$

Leidke 12 ruutjuur.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}, kui ± on pluss. Liitke -2 ja 2\sqrt{3}.

$$y=\frac{2\sqrt{3}-2}{4}$$

Jagage -2+2\sqrt{3} väärtusega 4.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Nüüd lahendage võrrand y=\frac{-2±2\sqrt{3}}{4}, kui ± on miinus. Lahutage 2\sqrt{3} väärtusest -2.

$$y=\frac{-2\sqrt{3}-2}{4}$$

Jagage -2-2\sqrt{3} väärtusega 4.

$$y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$2y^{2}+2y-1=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 1.

$$2y^{2}+2y-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$2y^{2}+2y=-\left(-1\right)$$

Lahutage -1 väärtusest 0.

$$2y^{2}+2y=1$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$\frac{2y^{2}+2y}{2}=\frac{1}{2}$$

2-ga jagamine võtab 2-ga korrutamise tagasi.

$$y^{2}+\frac{2}{2}y=\frac{1}{2}$$

Jagage 2 väärtusega 2.

$$y^{2}+y=\frac{1}{2}$$

Jagage liikme x kordaja 1 2-ga, et leida \frac{1}{2}. Seejärel liitke \frac{1}{2} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$y^{2}+y+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Tõstke \frac{1}{2} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$$

Liitke \frac{1}{2} ja \frac{1}{4}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$y^{2}+y+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$$

Lahutage y^{2}+y+\frac{1}{4}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3}{4}}$$

Lihtsustage.

$$y+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} y+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest \frac{1}{2}.

$$y=\frac{\sqrt{3}-1}{2} y=\frac{-\sqrt{3}-1}{2}$$