Lahenda 2x^2-3x-1=-5

$$2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 = - 5$$

Lahendage ja leidke x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}\approx 0,75+1,198957881i$$

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}\approx 0,75-1,198957881i$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 5.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

-5 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-5\right)=0$$

Lahutage -5 väärtusest -1.

$$2x^{2}-3x+4=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 2, b väärtusega -3 ja c väärtusega 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Tõstke -3 ruutu.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\times 4}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -4 ja 2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\times 4}}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel -8 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-32}}{2\times 2}$$

Liitke 9 ja -32.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Leidke -23 ruutjuur.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Arvu -3 vastand on 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Korrutage omavahel 2 ja 2.

$$x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}, kui ± on pluss. Liitke 3 ja i\sqrt{23}.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4}$$

Nüüd lahendage võrrand x=\frac{3±\sqrt{23}i}{4}, kui ± on miinus. Lahutage i\sqrt{23} väärtusest 3.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-3x-1=-5$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 1.

$$2x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-5-\left(-1\right)$$

-1 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$2x^{2}-3x=-5-\left(-1\right)$$

Lahutage -1 väärtusest -5.

$$2x^{2}-3x=-4$$

Jagage mõlemad pooled 2-ga.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=-\frac{4}{2}$$

2-ga jagamine võtab 2-ga korrutamise tagasi.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{4}{2}$$

Jagage -4 väärtusega 2.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-2$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{3}{2} 2-ga, et leida -\frac{3}{4}. Seejärel liitke -\frac{3}{4} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{3}{4} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-2+\frac{9}{16}$$

Liitke -2 ja \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=-\frac{23}{16}$$

Lahutage x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Lihtsustage.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{3}{4}.

$$x=\frac{3+\sqrt{23}i}{4} x=\frac{-\sqrt{23}i+3}{4}$$