Lahenda 2x^2-2x-1>0

$$2 x ^ { 2 } - 2 x - 1 > 0$$

Lahenda väärtuse x leidmiseks

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}+1}{2},\infty\right)$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Võrratuse lahendamiseks lahutage vasak pool teguriteks. Ruutpolünoomi saab teguriteks lahutada teisendusega ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), kus x_{1} ja x_{2} on ruutvõrrandi ax^{2}+bx+c=0 lahendid.

$$2x^{2}-2x-1=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega 2, b väärtusega -2 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-1\right)}}{2\times 2}$$

Tehke arvutustehted.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}$$

Lahendage võrrand x=\frac{2±2\sqrt{3}}{4}, kui ± on pluss ja kui ± on miinus.

$$x=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Kirjutage võrratus saadud lahendeid kasutades ümber.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)>0$$

Et korrutis oleks positiivne, peavad nii x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} kui ka x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} olema kas mõlemad negatiivsed või mõlemad positiivsed. Mõelge, mis juhtub, kui x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} ja x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} on mõlemad negatiivsed.

$$x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}<0$$

Mõlemaid võrratusi rahuldav lahend on x<\frac{1-\sqrt{3}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{3}}{2}$$

Mõelge, mis juhtub, kui x-\frac{\sqrt{3}+1}{2} ja x-\frac{1-\sqrt{3}}{2} on mõlemad positiivsed.

$$x-\frac{1-\sqrt{3}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{3}+1}{2}>0$$

Mõlemaid võrratusi rahuldav lahend on x>\frac{\sqrt{3}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$

Lõplik lahend on saadud lahendite ühend.

$$x<\frac{1-\sqrt{3}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{3}+1}{2}$$