Lahenda 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Lahendage ja leidke x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 6.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Tõstke 2x^{2}-10x-6 ruutu.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Laiendage \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 11 ja leidke 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{x^{2}-5x} ja leidke x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 121 ja x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Lahutage mõlemast poolest 121x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Kombineerige 76x^{2} ja -121x^{2}, et leida -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Liitke 605x mõlemale poolele.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Kombineerige 120x ja 605x, et leida 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Ratsionaalarvuliste nullkohtade teoreemi järgi on kõik polünoomi ratsionaalarvulised nullkohad kujul \frac{p}{q}, kus p jagab konstantliikme 36 ja q jagab pealiikme kordaja 4. Loetlege kõik kandidaadid \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Ühe sellise juure leidmiseks proovige kõiki täisarvulisi väärtusi alates väikseimast (absoluutväärtuse alusel). Kui täisarvulisi juuri ei leita, proovige murdarve.

$$x=-4$$

Teoreem korral x-k on polünoomi liikmete iga juure k. Jagage 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 väärtusega x+4, et leida 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Lahendage võrrand, mille tulemus võrdub 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Ratsionaalarvuliste nullkohtade teoreemi järgi on kõik polünoomi ratsionaalarvulised nullkohad kujul \frac{p}{q}, kus p jagab konstantliikme 9 ja q jagab pealiikme kordaja 4. Loetlege kõik kandidaadid \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Ühe sellise juure leidmiseks proovige kõiki täisarvulisi väärtusi alates väikseimast (absoluutväärtuse alusel). Kui täisarvulisi juuri ei leita, proovige murdarve.

$$x=9$$

Teoreem korral x-k on polünoomi liikmete iga juure k. Jagage 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 väärtusega x-9, et leida 4x^{2}-20x-1. Lahendage võrrand, mille tulemus võrdub 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Kõik võrrandid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Asendage a ruutvõrrandis väärtusega 4, b väärtusega -20 ja c väärtusega -1.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Tehke arvutustehted.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Lahendage võrrand 4x^{2}-20x-1=0, kui ± on pluss ja kui ± on miinus.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Loetlege kõik leitud lahendused.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Asendage x võrrandis 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} väärtusega -4.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Lihtsustage. Väärtus x=-4 vastab võrrandile.

$$72=72$$

Asendage x võrrandis 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} väärtusega 9.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Lihtsustage. Väärtus x=9 vastab võrrandile.

$$72=72$$

Asendage x võrrandis 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} väärtusega \frac{5-\sqrt{26}}{2}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Lihtsustage. Väärtus x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} ei vasta võrrandit.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Asendage x võrrandis 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x} väärtusega \frac{\sqrt{26}+5}{2}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Lihtsustage. Väärtus x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} ei vasta võrrandit.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Loetle kõik võrrandi 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x} lahendused.

$$x=-4 x=9$$