Lahenda 13n^2-41n-120=0

$$13 n ^ { 2 } - 41 n - 120 = 0$$

Lahendage ja leidke n

$$n = -\frac{24}{13} = -1\frac{11}{13} \approx -1,846153846$$

$$n=5$$

Juhised rühmitamise kaudu teguriteks lahutamise kasutamisel

Võrrandi lahendamiseks jaotage võrrandi vasak pool rühmitamise abil teguriteks. Esmalt tuleb vasak pool ümber kirjutada kujul 13n^{2}+an+bn-120. a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-41 ab=13\left(-120\right)=-1560$$

Kuna ab on negatiivne, a ja b on vastand märki. Kuna a+b on negatiivne, on negatiivne arv suurem kui positiivne väärtus. Loetlege kõik täisarvupaarid, mis annavad korrutiseks -1560.

$$1,-1560 2,-780 3,-520 4,-390 5,-312 6,-260 8,-195 10,-156 12,-130 13,-120 15,-104 20,-78 24,-65 26,-60 30,-52 39,-40$$

Arvutage iga paari summa.

$$1-1560=-1559 2-780=-778 3-520=-517 4-390=-386 5-312=-307 6-260=-254 8-195=-187 10-156=-146 12-130=-118 13-120=-107 15-104=-89 20-78=-58 24-65=-41 26-60=-34 30-52=-22 39-40=-1$$

Lahendus on paar, mis annab summa -41.

$$a=-65 b=24$$

Kirjutage13n^{2}-41n-120 ümber kujul \left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right).

$$\left(13n^{2}-65n\right)+\left(24n-120\right)$$

Lahutage 13n esimesel ja 24 teise rühma.

$$13n\left(n-5\right)+24\left(n-5\right)$$

Tooge liige n-5 distributiivsusomadust kasutades sulgude ette.

$$\left(n-5\right)\left(13n+24\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage n-5=0 ja 13n+24=0.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Juhised ruutvõrrandi valemi kasutamisel

Kõiki võrrandeid, mis on kujul ax^{2}+bx+c=0, saab lahendada ruutvõrrandi valemiga: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ruutvõrrandi valem annab kaks lahendit: ühe, kui ± on liitmine, ja teise, kui see on lahutamine.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

See võrrand on standardkujul: ax^{2}+bx+c=0. Asendage ruutvõrrandis \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} väärtus a väärtusega 13, b väärtusega -41 ja c väärtusega -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Tõstke -41 ruutu.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 13\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Korrutage omavahel -4 ja 13.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-52\left(-120\right)}}{2\times 13}$$

Korrutage omavahel -52 ja -120.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681+6240}}{2\times 13}$$

Liitke 1681 ja 6240.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{7921}}{2\times 13}$$

Leidke 7921 ruutjuur.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±89}{2\times 13}$$

Arvu -41 vastand on 41.

$$n=\frac{41±89}{2\times 13}$$

Korrutage omavahel 2 ja 13.

$$n=\frac{41±89}{26}$$

Nüüd lahendage võrrand n=\frac{41±89}{26}, kui ± on pluss. Liitke 41 ja 89.

$$n=\frac{130}{26}$$

Jagage 130 väärtusega 26.

$$n=5$$

Nüüd lahendage võrrand n=\frac{41±89}{26}, kui ± on miinus. Lahutage 89 väärtusest 41.

$$n=-\frac{48}{26}$$

Taandage murd \frac{-48}{26} vähimale ühiskordsele, eraldades ja taandades arvu 2.

$$n=-\frac{24}{13}$$

Võrrand on nüüd lahendatud.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$

Juhised mõlema poole ruutu tõstmiseks

Ruutvõrrandite (nagu see siin) lahendamiseks tuleb mõlemad pooled ruutu tõsta. Ruutu tõstmiseks peab võrrand olema esmalt kujul x^{2}+bx=c.

$$13n^{2}-41n-120=0$$

Liitke võrrandi mõlema poolega 120.

$$13n^{2}-41n-120-\left(-120\right)=-\left(-120\right)$$

-120 lahutamine iseendast annab tulemuseks 0.

$$13n^{2}-41n=-\left(-120\right)$$

Lahutage -120 väärtusest 0.

$$13n^{2}-41n=120$$

Jagage mõlemad pooled 13-ga.

$$\frac{13n^{2}-41n}{13}=\frac{120}{13}$$

13-ga jagamine võtab 13-ga korrutamise tagasi.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n=\frac{120}{13}$$

Jagage liikme x kordaja -\frac{41}{13} 2-ga, et leida -\frac{41}{26}. Seejärel liitke -\frac{41}{26} ruut võrrandi mõlemale poolele. Selle tehtega saab võrrandi vasakust poolest täisruut.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{120}{13}+\left(-\frac{41}{26}\right)^{2}$$

Tõstke -\frac{41}{26} ruutu, tõstes ruutu nii murru lugeja kui ka nimetaja.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{120}{13}+\frac{1681}{676}$$

Liitke \frac{120}{13} ja \frac{1681}{676}, leides ühise nimetaja ning liites lugejad. Seejärel taandage murd võimaluse korral vähimale ühiskordsele.

$$n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}=\frac{7921}{676}$$

Lahutage n^{2}-\frac{41}{13}n+\frac{1681}{676}. Kui x^{2}+bx+c on üldiselt täiuslik ruut, saab selle alati teguriteks lahutada kui \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}=\frac{7921}{676}$$

Leidke võrrandi mõlema poole ruutjuur.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{676}}$$

Lihtsustage.

$$n-\frac{41}{26}=\frac{89}{26} n-\frac{41}{26}=-\frac{89}{26}$$

Liitke võrrandi mõlema poolega \frac{41}{26}.

$$n=5 n=-\frac{24}{13}$$