Lahenda sqrt{3x+1}-sqrt{2x-1}=1

$$\sqrt { 3 x + 1 } - \sqrt { 2 x - 1 } = 1$$

Lahendage ja leidke x

$$x=5$$

$$x=1$$

Lahenduse etapid

Lahutage võrrandi mõlemast poolest -\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{3x+1}=1+\sqrt{2x-1}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(\sqrt{3x+1}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{3x+1} ja leidke 3x+1.

$$3x+1=\left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(1+\sqrt{2x-1}\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x-1} ja leidke 2x-1.

$$3x+1=1+2\sqrt{2x-1}+2x-1$$

Lahutage 1 väärtusest 1, et leida 0.

$$3x+1=2\sqrt{2x-1}+2x$$

Lahutage võrrandi mõlemast poolest 2x.

$$3x+1-2x=2\sqrt{2x-1}$$

Kombineerige 3x ja -2x, et leida x.

$$x+1=2\sqrt{2x-1}$$

Tõstke võrrandi mõlemad pooled ruutu.

$$\left(x+1\right)^{2}=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Kasutage kaksliikme \left(x+1\right)^{2} arendamiseks binoomvalemit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}.

$$x^{2}+2x+1=\left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Laiendage \left(2\sqrt{2x-1}\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1=2^{2}\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste 2 ja leidke 4.

$$x^{2}+2x+1=4\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Arvutage 2 aste \sqrt{2x-1} ja leidke 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=4\left(2x-1\right)$$

Kasutage distributiivsusomadust, et korrutada 4 ja 2x-1.

$$x^{2}+2x+1=8x-4$$

Lahutage mõlemast poolest 8x.

$$x^{2}+2x+1-8x=-4$$

Kombineerige 2x ja -8x, et leida -6x.

$$x^{2}-6x+1=-4$$

Liitke 4 mõlemale poolele.

$$x^{2}-6x+1+4=0$$

Liitke 1 ja 4, et leida 5.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Võrrandi käivitamiseks x^{2}-6x+5 valemi abil x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). a ja b otsimiseks häälestage süsteem lahendatud.

$$a+b=-6 ab=5$$

Kuna ab on positiivne, a ja b on sama märk. Kuna a+b on negatiivne, a ja b on mõlemad negatiivsed. Ainult siis, kui paar on süsteemi lahendus.

$$a=-5 b=-1$$

Kirjutage teguriteks jaotatud avaldis \left(x+a\right)\left(x+b\right) saadud väärtuste abil ümber.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Võrrandi lahenduste leidmiseks Lahendage x-5=0 ja x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Asendage x võrrandis \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1 väärtusega 5.

$$\sqrt{3\times 5+1}-\sqrt{2\times 5-1}=1$$

Lihtsustage. Väärtus x=5 vastab võrrandile.

$$1=1$$

Asendage x võrrandis \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1 väärtusega 1.

$$\sqrt{3\times 1+1}-\sqrt{2\times 1-1}=1$$

Lihtsustage. Väärtus x=1 vastab võrrandile.

$$1=1$$

Loetle kõik võrrandi \sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1 lahendused.

$$x=5 x=1$$