Solucionar x-2=sqrt{2x+7}

$$x - 2 = \sqrt { 2 x + 7 }$$

Resolver para x

$$x=2\sqrt{3}+3\approx 6,464101615$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(\sqrt{2x+7}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{2x+7} a la potencia de 2 y obtiene 2x+7.

$$x^{2}-4x+4=2x+7$$

Resta 2x en los dos lados.

$$x^{2}-4x+4-2x=7$$

Combina -4x y -2x para obtener -6x.

$$x^{2}-6x+4=7$$

Resta 7 en los dos lados.

$$x^{2}-6x+4-7=0$$

Resta 7 de 4 para obtener -3.

$$x^{2}-6x-3=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 1 por a, -6 por b y -3 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-3\right)}}{2}$$

Obtiene el cuadrado de -6.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-3\right)}}{2}$$

Multiplica -4 por -3.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+12}}{2}$$

Suma 36 y 12.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{48}}{2}$$

Toma la raíz cuadrada de 48.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±4\sqrt{3}}{2}$$

El opuesto de -6 es 6.

$$x=\frac{6±4\sqrt{3}}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{6±4\sqrt{3}}{2} dónde ± es más. Suma 6 y 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}+6}{2}$$

Divide 6+4\sqrt{3} por 2.

$$x=2\sqrt{3}+3$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{6±4\sqrt{3}}{2} dónde ± es menos. Resta 4\sqrt{3} de 6.

$$x=\frac{6-4\sqrt{3}}{2}$$

Divide 6-4\sqrt{3} por 2.

$$x=3-2\sqrt{3}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=2\sqrt{3}+3 x=3-2\sqrt{3}$$

Sustituya 2\sqrt{3}+3 por x en la ecuación x-2=\sqrt{2x+7}.

$$2\sqrt{3}+3-2=\sqrt{2\left(2\sqrt{3}+3\right)+7}$$

Simplifica. El valor x=2\sqrt{3}+3 satisface la ecuación.

$$2\times 3^{\frac{1}{2}}+1=2\times 3^{\frac{1}{2}}+1$$

Sustituya 3-2\sqrt{3} por x en la ecuación x-2=\sqrt{2x+7}.

$$3-2\sqrt{3}-2=\sqrt{2\left(3-2\sqrt{3}\right)+7}$$

Simplifica. El valor x=3-2\sqrt{3} no cumple la ecuación porque la parte izquierda y la derecha tienen signos opuestos.

$$1-2\times 3^{\frac{1}{2}}=2\times 3^{\frac{1}{2}}-1$$

La ecuación x-2=\sqrt{2x+7} tiene una solución única.

$$x=2\sqrt{3}+3$$