Solucionar k^135+1

$$k ^ { 135 } + 1$$

Factorizar

$$\left(k+1\right)\left(k^{4}-k^{3}+k^{2}-k+1\right)\left(k^{10}-k^{5}+1\right)\left(k^{30}-k^{15}+1\right)\left(k^{90}-k^{45}+1\right)$$

Pasos de la solución

Vuelva a escribir k^{135}+1 como \left(k^{45}\right)^{3}+1^{3}. La suma de los cubos se puede factorizar con la regla: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(k^{45}+1\right)\left(k^{90}-k^{45}+1\right)$$

Piense en k^{45}+1. Vuelva a escribir k^{45}+1 como \left(k^{15}\right)^{3}+1^{3}. La suma de los cubos se puede factorizar con la regla: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(k^{15}+1\right)\left(k^{30}-k^{15}+1\right)$$

Piense en k^{15}+1. Vuelva a escribir k^{15}+1 como \left(k^{5}\right)^{3}+1^{3}. La suma de los cubos se puede factorizar con la regla: a^{3}+b^{3}=\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right).

$$\left(k^{5}+1\right)\left(k^{10}-k^{5}+1\right)$$

Piense en k^{5}+1. Por Teorema de raíz racional, todas las raíces racionales de un polinomio tienen el formato \frac{p}{q}, donde p divide el término constante 1 y q divide el 1 del coeficiente inicial. Una raíz de este tipo es -1. Factor polinómico dividiéndolo por k+1.

$$\left(k+1\right)\left(k^{4}-k^{3}+k^{2}-k+1\right)$$

Vuelva a escribir la expresión factorizada completa. No se factorizan los siguientes polinomios porque no tienen ninguna raíz racional: k^{4}-k^{3}+k^{2}-k+1,k^{10}-k^{5}+1,k^{30}-k^{15}+1,k^{90}-k^{45}+1.

$$\left(k^{4}-k^{3}+k^{2}-k+1\right)\left(k+1\right)\left(k^{10}-k^{5}+1\right)\left(k^{30}-k^{15}+1\right)\left(k^{90}-k^{45}+1\right)$$

Calcular

$$k^{135}+1$$