Solucionar 9y^2-104y-48

$$9 y ^ { 2 } - 104 y - 48$$

Factorizar

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Pasos de la solución

Factoriza la expresión agrupando. Primero, es necesario volver a escribir la expresión como 9y^{2}+ay+by-48. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-104 ab=9\left(-48\right)=-432$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -432.

$$1,-432 2,-216 3,-144 4,-108 6,-72 8,-54 9,-48 12,-36 16,-27 18,-24$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-432=-431 2-216=-214 3-144=-141 4-108=-104 6-72=-66 8-54=-46 9-48=-39 12-36=-24 16-27=-11 18-24=-6$$

La solución es el par que proporciona suma -104.

$$a=-108 b=4$$

Vuelva a escribir 9y^{2}-104y-48 como \left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right).

$$\left(9y^{2}-108y\right)+\left(4y-48\right)$$

Factoriza 9y en el primero y 4 en el segundo grupo.

$$9y\left(y-12\right)+4\left(y-12\right)$$

Simplifica el término común y-12 con la propiedad distributiva.

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Puede factorizar el polinomio cuadrático utilizando la transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), donde x_{1} y x_{2} son las soluciones de la ecuación cuadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-104y-48=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{\left(-104\right)^{2}-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Obtiene el cuadrado de -104.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -4 por 9.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816-36\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Multiplica -36 por -48.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{10816+1728}}{2\times 9}$$

Suma 10816 y 1728.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±\sqrt{12544}}{2\times 9}$$

Toma la raíz cuadrada de 12544.

$$y=\frac{-\left(-104\right)±112}{2\times 9}$$

El opuesto de -104 es 104.

$$y=\frac{104±112}{2\times 9}$$

Multiplica 2 por 9.

$$y=\frac{104±112}{18}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{104±112}{18} dónde ± es más. Suma 104 y 112.

$$y=\frac{216}{18}$$

Divide 216 por 18.

$$y=12$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{104±112}{18} dónde ± es menos. Resta 112 de 104.

$$y=-\frac{8}{18}$$

Reduzca la fracción \frac{-8}{18} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$y=-\frac{4}{9}$$

Factorice la expresión original con ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sustituya 12 por x_{1} y -\frac{4}{9} por x_{2}.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y-\left(-\frac{4}{9}\right)\right)$$

Simplifica todas las expresiones con la forma p-\left(-q\right) a p+q.

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\left(y+\frac{4}{9}\right)$$

Suma \frac{4}{9} y y. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$9y^{2}-104y-48=9\left(y-12\right)\times \frac{9y+4}{9}$$

Cancela el máximo común divisor 9 en 9 y 9.

$$9y^{2}-104y-48=\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$

Calcular

$$\left(y-12\right)\left(9y+4\right)$$