Solucionar 6(1/x+1/x+5)=1

$$6( \frac{ 1 }{ x } + \frac{ 1 }{ x+5 } )=1$$

Resolver para x

$$x=-3$$

$$x=10$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Divide los dos lados por 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -5,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 6x\left(x+5\right), el mínimo común denominador de x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Combina 6x y 6x para obtener 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Resta 5x en los dos lados.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Combina 12x y -5x para obtener 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Cambia el polinomio para ponerlo en una forma estándar. Ordena los términos de mayor a menor según la potencia.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -x^{2}+ax+bx+30. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=7 ab=-30=-30$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Como a+b es positivo, el número positivo tiene un valor absoluto mayor que el negativo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

La solución es el par que proporciona suma 7.

$$a=10 b=-3$$

Vuelva a escribir -x^{2}+7x+30 como \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-3x+30\right)$$

Factoriza -x en el primero y -3 en el segundo grupo.

$$-x\left(x-10\right)-3\left(x-10\right)$$

Simplifica el término común x-10 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(-x-3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-10=0 y -x-3=0.

$$x=10 x=-3$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Divide los dos lados por 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -5,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 6x\left(x+5\right), el mínimo común denominador de x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Combina 6x y 6x para obtener 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Resta 5x en los dos lados.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Combina 12x y -5x para obtener 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-x^{2}+7x+30=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -1 por a, 7 por b y 30 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica -4 por -1.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\times 30}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 4 por 30.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\left(-1\right)}$$

Suma 49 y 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\left(-1\right)}$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=\frac{-7±13}{-2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-7±13}{-2} dónde ± es más. Suma -7 y 13.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Divide 6 por -2.

$$x=-3$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-7±13}{-2} dónde ± es menos. Resta 13 de -7.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

Divide -20 por -2.

$$x=10$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=-3 x=10$$

Pasos para completar el cuadrado

Divide los dos lados por 6.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5}=\frac{1}{6}$$

La variable x no puede ser igual a cualquiera de los valores -5,0 ya que la división por cero no está definida. Multiplique ambos lados de la ecuación por 6x\left(x+5\right), el mínimo común denominador de x,x+5,6.

$$6x+30+6x=x\left(x+5\right)$$

Combina 6x y 6x para obtener 12x.

$$12x+30=x\left(x+5\right)$$

Usa la propiedad distributiva para multiplicar x por x+5.

$$12x+30=x^{2}+5x$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$12x+30-x^{2}=5x$$

Resta 5x en los dos lados.

$$12x+30-x^{2}-5x=0$$

Combina 12x y -5x para obtener 7x.

$$7x+30-x^{2}=0$$

Resta 30 en los dos lados. Cualquier valor restado de cero da como resultado su valor negativo.

$$7x-x^{2}=-30$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+7x=-30$$

Divide los dos lados por -1.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=-\frac{30}{-1}$$

Al dividir por -1, se deshace la multiplicación por -1.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=-\frac{30}{-1}$$

Divide 7 por -1.

$$x^{2}-7x=-\frac{30}{-1}$$

Divide -30 por -1.

$$x^{2}-7x=30$$

Divida -7, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{7}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{7}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{7}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

Suma 30 y \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

Factor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

Suma \frac{7}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$x=10 x=-3$$