Solucionar 40x+2x(30-2x)=200

$$40x+2x(30-2x)=200$$

Resolver para x

$$x = \frac{5 \sqrt{17} + 25}{2} \approx 22,807764064$$

$$x = \frac{25 - 5 \sqrt{17}}{2} \approx 2,192235936$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Combina 40x y 60x para obtener 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Resta 200 en los dos lados.

$$100x-4x^{2}-200=0$$

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$-4x^{2}+100x-200=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -4 por a, 100 por b y -200 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 100.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-4\right)\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica -4 por -4.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+16\left(-200\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 16 por -200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-3200}}{2\left(-4\right)}$$

Suma 10000 y -3200.

$$x=\frac{-100±\sqrt{6800}}{2\left(-4\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 6800.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{2\left(-4\right)}$$

Multiplica 2 por -4.

$$x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} dónde ± es más. Suma -100 y 20\sqrt{17}.

$$x=\frac{20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Divide -100+20\sqrt{17} por -8.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$

Ahora, resuelva la ecuación x=\frac{-100±20\sqrt{17}}{-8} dónde ± es menos. Resta 20\sqrt{17} de -100.

$$x=\frac{-20\sqrt{17}-100}{-8}$$

Divide -100-20\sqrt{17} por -8.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2} x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2}$$

Pasos para completar el cuadrado

Usa la propiedad distributiva para multiplicar 2x por 30-2x.

$$40x+60x-4x^{2}=200$$

Combina 40x y 60x para obtener 100x.

$$100x-4x^{2}=200$$

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+100x=200$$

Divide los dos lados por -4.

$$\frac{-4x^{2}+100x}{-4}=\frac{200}{-4}$$

Al dividir por -4, se deshace la multiplicación por -4.

$$x^{2}+\frac{100}{-4}x=\frac{200}{-4}$$

Divide 100 por -4.

$$x^{2}-25x=\frac{200}{-4}$$

Divide 200 por -4.

$$x^{2}-25x=-50$$

Divida -25, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{25}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{25}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-50+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{25}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-50+\frac{625}{4}$$

Suma -50 y \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{425}{4}$$

Factor x^{2}-25x+\frac{625}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{425}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{425}{4}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{5\sqrt{17}}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{5\sqrt{17}}{2}$$

Suma \frac{25}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$x=\frac{5\sqrt{17}+25}{2} x=\frac{25-5\sqrt{17}}{2}$$