Solucionar 3r^2-24r=-45

$$3 r ^ { 2 } - 24 r = - 45$$

Resolver para r

$$r=3$$

$$r=5$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Agrega 45 a ambos lados.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Divide los dos lados por 3.

$$r^{2}-8r+15=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como r^{2}+ar+br+15. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-8 ab=1\times 15=15$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

La solución es el par que proporciona suma -8.

$$a=-5 b=-3$$

Vuelva a escribir r^{2}-8r+15 como \left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right).

$$\left(r^{2}-5r\right)+\left(-3r+15\right)$$

Factoriza r en el primero y -3 en el segundo grupo.

$$r\left(r-5\right)-3\left(r-5\right)$$

Simplifica el término común r-5 con la propiedad distributiva.

$$\left(r-5\right)\left(r-3\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva r-5=0 y r-3=0.

$$r=5 r=3$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Suma 45 a los dos lados de la ecuación.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=-45-\left(-45\right)$$

Al restar -45 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$3r^{2}-24r-\left(-45\right)=0$$

Resta -45 de 0.

$$3r^{2}-24r+45=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 3 por a, -24 por b y 45 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Obtiene el cuadrado de -24.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 3\times 45}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-12\times 45}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 45.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-540}}{2\times 3}$$

Suma 576 y -540.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{36}}{2\times 3}$$

Toma la raíz cuadrada de 36.

$$r=\frac{-\left(-24\right)±6}{2\times 3}$$

El opuesto de -24 es 24.

$$r=\frac{24±6}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$r=\frac{24±6}{6}$$

Ahora, resuelva la ecuación r=\frac{24±6}{6} dónde ± es más. Suma 24 y 6.

$$r=\frac{30}{6}$$

Divide 30 por 6.

$$r=5$$

Ahora, resuelva la ecuación r=\frac{24±6}{6} dónde ± es menos. Resta 6 de 24.

$$r=\frac{18}{6}$$

Divide 18 por 6.

$$r=3$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$r=5 r=3$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$3r^{2}-24r=-45$$

Divide los dos lados por 3.

$$\frac{3r^{2}-24r}{3}=-\frac{45}{3}$$

Al dividir por 3, se deshace la multiplicación por 3.

$$r^{2}+\left(-\frac{24}{3}\right)r=-\frac{45}{3}$$

Divide -24 por 3.

$$r^{2}-8r=-\frac{45}{3}$$

Divide -45 por 3.

$$r^{2}-8r=-15$$

Divida -8, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -4. A continuación, agregue el cuadrado de -4 a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$r^{2}-8r+\left(-4\right)^{2}=-15+\left(-4\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -4.

$$r^{2}-8r+16=-15+16$$

Suma -15 y 16.

$$r^{2}-8r+16=1$$

Factor r^{2}-8r+16. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-4\right)^{2}=1$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(r-4\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifica.

$$r-4=1 r-4=-1$$

Suma 4 a los dos lados de la ecuación.

$$r=5 r=3$$