Solucionar 25y^2-54y-63=0

$$25 y ^ { 2 } - 54 y - 63 = 0$$

Resolver para y

$$y=-\frac{21}{25}=-0,84$$

$$y=3$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 25y^{2}+ay+by-63. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-54 ab=25\left(-63\right)=-1575$$

Dado que ab es negativo, a y b tienen los signos opuestos. Dado que a+b es negativa, el número negativo tiene un valor absoluto mayor que el positivo. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto -1575.

$$1,-1575 3,-525 5,-315 7,-225 9,-175 15,-105 21,-75 25,-63 35,-45$$

Calcule la suma de cada par.

$$1-1575=-1574 3-525=-522 5-315=-310 7-225=-218 9-175=-166 15-105=-90 21-75=-54 25-63=-38 35-45=-10$$

La solución es el par que proporciona suma -54.

$$a=-75 b=21$$

Vuelva a escribir 25y^{2}-54y-63 como \left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right).

$$\left(25y^{2}-75y\right)+\left(21y-63\right)$$

Factoriza 25y en el primero y 21 en el segundo grupo.

$$25y\left(y-3\right)+21\left(y-3\right)$$

Simplifica el término común y-3 con la propiedad distributiva.

$$\left(y-3\right)\left(25y+21\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva y-3=0 y 25y+21=0.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Todas las ecuaciones con la forma ax^{2}+bx+c=0 se pueden resolver con la fórmula cuadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La fórmula cuadrática proporciona dos soluciones, una cuando ± es una suma y otra cuando es una resta.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace 25 por a, -54 por b y -63 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Obtiene el cuadrado de -54.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 25\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplica -4 por 25.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-100\left(-63\right)}}{2\times 25}$$

Multiplica -100 por -63.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916+6300}}{2\times 25}$$

Suma 2916 y 6300.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{9216}}{2\times 25}$$

Toma la raíz cuadrada de 9216.

$$y=\frac{-\left(-54\right)±96}{2\times 25}$$

El opuesto de -54 es 54.

$$y=\frac{54±96}{2\times 25}$$

Multiplica 2 por 25.

$$y=\frac{54±96}{50}$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{54±96}{50} dónde ± es más. Suma 54 y 96.

$$y=\frac{150}{50}$$

Divide 150 por 50.

$$y=3$$

Ahora, resuelva la ecuación y=\frac{54±96}{50} dónde ± es menos. Resta 96 de 54.

$$y=-\frac{42}{50}$$

Reduzca la fracción \frac{-42}{50} a su mínima expresión extrayendo y anulando 2.

$$y=-\frac{21}{25}$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$

Pasos para completar el cuadrado

Las ecuaciones cuadráticas como esta se pueden resolver si se completa el cuadrado. Para completar el cuadrado, la ecuación tiene que estar primero en la forma x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}-54y-63=0$$

Suma 63 a los dos lados de la ecuación.

$$25y^{2}-54y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Al restar -63 de su mismo valor, da como resultado 0.

$$25y^{2}-54y=-\left(-63\right)$$

Resta -63 de 0.

$$25y^{2}-54y=63$$

Divide los dos lados por 25.

$$\frac{25y^{2}-54y}{25}=\frac{63}{25}$$

Al dividir por 25, se deshace la multiplicación por 25.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y=\frac{63}{25}$$

Divida -\frac{54}{25}, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{27}{25}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{27}{25} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{63}{25}+\left(-\frac{27}{25}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{27}{25}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{63}{25}+\frac{729}{625}$$

Suma \frac{63}{25} y \frac{729}{625}. Para hacerlo, obtiene un denominador común y suma los numeradores y, después, reduce la fracción a los términos mínimos (si es posible).

$$y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}=\frac{2304}{625}$$

Factor y^{2}-\frac{54}{25}y+\frac{729}{625}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}=\frac{2304}{625}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(y-\frac{27}{25}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2304}{625}}$$

Simplifica.

$$y-\frac{27}{25}=\frac{48}{25} y-\frac{27}{25}=-\frac{48}{25}$$

Suma \frac{27}{25} a los dos lados de la ecuación.

$$y=3 y=-\frac{21}{25}$$