Solucionar 2x-5=sqrt{x^2-7}

$$2 x - 5 = \sqrt { x ^ { 2 } - 7 }$$

Resolver para x

$$x=4$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Pasos de la solución

Obtiene el cuadrado de los dos lados de la ecuación.

$$\left(2x-5\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Utilice el teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25=\left(\sqrt{x^{2}-7}\right)^{2}$$

Calcula \sqrt{x^{2}-7} a la potencia de 2 y obtiene x^{2}-7.

$$4x^{2}-20x+25=x^{2}-7$$

Resta x^{2} en los dos lados.

$$4x^{2}-20x+25-x^{2}=-7$$

Combina 4x^{2} y -x^{2} para obtener 3x^{2}.

$$3x^{2}-20x+25=-7$$

Agrega 7 a ambos lados.

$$3x^{2}-20x+25+7=0$$

Suma 25 y 7 para obtener 32.

$$3x^{2}-20x+32=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como 3x^{2}+ax+bx+32. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=-20 ab=3\times 32=96$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es negativo, a y b son negativos. Mostrar todos los pares de números enteros que den como producto 96.

$$-1,-96 -2,-48 -3,-32 -4,-24 -6,-16 -8,-12$$

Calcule la suma de cada par.

$$-1-96=-97 -2-48=-50 -3-32=-35 -4-24=-28 -6-16=-22 -8-12=-20$$

La solución es el par que proporciona suma -20.

$$a=-12 b=-8$$

Vuelva a escribir 3x^{2}-20x+32 como \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-8x+32\right)$$

Factoriza 3x en el primero y -8 en el segundo grupo.

$$3x\left(x-4\right)-8\left(x-4\right)$$

Simplifica el término común x-4 con la propiedad distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(3x-8\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva x-4=0 y 3x-8=0.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$

Sustituya 4 por x en la ecuación 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times 4-5=\sqrt{4^{2}-7}$$

Simplifica. El valor x=4 satisface la ecuación.

$$3=3$$

Sustituya \frac{8}{3} por x en la ecuación 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$2\times \frac{8}{3}-5=\sqrt{\left(\frac{8}{3}\right)^{2}-7}$$

Simplifica. El valor x=\frac{8}{3} satisface la ecuación.

$$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$

Enumere todas las soluciones de 2x-5=\sqrt{x^{2}-7}.

$$x=4 x=\frac{8}{3}$$