Solucionar 0=-16t^2+48t-32

$$0 = - 16 t ^ { 2 } + 48 t - 32$$

Resolver para t

$$t=1$$

$$t=2$$

Pasos para usar factorizar agrupando

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Divide los dos lados por 16.

$$-t^{2}+3t-2=0$$

Para resolver la ecuación, desborde la mano izquierda agrupando. En primer lugar, la izquierda debe reescribirse como -t^{2}+at+bt-2. Para buscar a y b, configure un sistema que se va a resolver.

$$a+b=3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Dado que ab es positivo, a y b tienen el mismo signo. Dado que a+b es positivo, a y b son positivos. El único par como este es la solución de sistema.

$$a=2 b=1$$

Vuelva a escribir -t^{2}+3t-2 como \left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right).

$$\left(-t^{2}+2t\right)+\left(t-2\right)$$

Simplifica -t en -t^{2}+2t.

$$-t\left(t-2\right)+t-2$$

Simplifica el término común t-2 con la propiedad distributiva.

$$\left(t-2\right)\left(-t+1\right)$$

Para buscar soluciones de ecuaciones, resuelva t-2=0 y -t+1=0.

$$t=2 t=1$$

Pasos con la fórmula cuadrática

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Esta ecuación tiene el formato estándar: ax^{2}+bx+c=0. Reemplace -16 por a, 48 por b y -32 por c en la fórmula cuadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Obtiene el cuadrado de 48.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-4\left(-16\right)\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica -4 por -16.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304+64\left(-32\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 64 por -32.

$$t=\frac{-48±\sqrt{2304-2048}}{2\left(-16\right)}$$

Suma 2304 y -2048.

$$t=\frac{-48±\sqrt{256}}{2\left(-16\right)}$$

Toma la raíz cuadrada de 256.

$$t=\frac{-48±16}{2\left(-16\right)}$$

Multiplica 2 por -16.

$$t=\frac{-48±16}{-32}$$

Ahora, resuelva la ecuación t=\frac{-48±16}{-32} dónde ± es más. Suma -48 y 16.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

Divide -32 por -32.

$$t=1$$

Ahora, resuelva la ecuación t=\frac{-48±16}{-32} dónde ± es menos. Resta 16 de -48.

$$t=-\frac{64}{-32}$$

Divide -64 por -32.

$$t=2$$

La ecuación ahora está resuelta.

$$t=1 t=2$$

Pasos para completar el cuadrado

Intercambie los lados para que todos los términos de las variables estén en el lado izquierdo.

$$-16t^{2}+48t-32=0$$

Agrega 32 a ambos lados. Cualquier valor más cero da como resultado su mismo valor.

$$-16t^{2}+48t=32$$

Divide los dos lados por -16.

$$\frac{-16t^{2}+48t}{-16}=\frac{32}{-16}$$

Al dividir por -16, se deshace la multiplicación por -16.

$$t^{2}+\frac{48}{-16}t=\frac{32}{-16}$$

Divide 48 por -16.

$$t^{2}-3t=\frac{32}{-16}$$

Divide 32 por -16.

$$t^{2}-3t=-2$$

Divida -3, el coeficiente del término x, mediante la 2 de obtener -\frac{3}{2}. A continuación, agregue el cuadrado de -\frac{3}{2} a los dos lados de la ecuación. Este paso hace que el lado izquierdo de la ecuación sea un cuadrado perfecto.

$$t^{2}-3t+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Obtiene el cuadrado de -\frac{3}{2}. Para hacerlo, calcula el cuadrado del numerador y el denominador de la fracción.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Suma -2 y \frac{9}{4}.

$$t^{2}-3t+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factor t^{2}-3t+\frac{9}{4}. En general, cuando x^{2}+bx+c es un cuadrado perfecto, siempre se puede factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Toma la raíz cuadrada de los dos lados de la ecuación.

$$\sqrt{\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifica.

$$t-\frac{3}{2}=\frac{1}{2} t-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Suma \frac{3}{2} a los dos lados de la ecuación.

$$t=2 t=1$$